Anul 2010

[Doctor Gil]

CLASA A VII-A

$1.$ Fie $S$ o submulțime cu $673$ de elemente a mulțimii $\{1,2,3,...,2010\}$. Arătați că există $a,b\in S,\ a\neq b$, cu proprietatea $6\mid a+b$.
(Marian Teler, Costești)

$2.$ Fie $ABCD$ un dreptunghi de centru $O$, având $m(\widehat{DAC})=60^\circ$. Bisectoarea $\widehat{DAC}$ intersectează $DC$ în $S$. Avem $OS\cap AD=\{L\}$, iar $BL\cap AC=\{M\}$.
Arătați că $SM\parallel CL$.
(***)

$3.$ Căsuțele unui tablou $50\times 50$ se pot colora numai cu roșu sau cu albastru. Inițial, toate căsuțele sunt colorate cu roșu.
Un pas înseamnă schimbarea culorii tuturor căsuțelor unei linii sau coloane.
$a)$ Arătați că nu există nicio secvență de pași după care tabelul conține exact $2011$ căsuțe albastre.
$b)$ Găsiți un număr de pași după care tabloul conține exact $2010$ căsuțe albastre.
(Adriana și Lucian Dragomir, Oțelu-Roșu)

$4.$ În $\triangle ABC$ cu $AB=AC$, bisectoarea $\widehat{ABC}$ intersectează latura $(AC)$ în punctul $B^\prime$ și există egalitatea $BB^\prime +AB^\prime = BC$. Determinați măsurile unghiurilor $\triangle ABC$.
(Dan Nedeianu, Drobeta Turnu-Severin)

CLASA A VIII-A

$1.$ Fie $a,b,c\in \Bbb{N}-\{0,1,\}$. Arătați că $a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\le (a+b+c-4)(a+b+c-5)+4$.
(***)

$2.$ Determinați câte numere naturale de 4 cifre $\overline{abcd}$ verifică simultan $\left\{\begin{array}{l} a+b=c+d \\ a^2+b^2=c^2+d^2 \end{array}\right.$.
(***)

$3.$ Considerăm piramida patrulateră regulată $VABCD$. Pe dreapta $AC$ există un punct $M$ a.î. $VM=MB$ și $(VMB)\perp (VAB)$. Arătați că $4AM=3AC$.
(Mircea Fianu, București)

$4.$ Fie $a,b,c,d\in \Bbb{N^*}$ și $p=a+b+c+d$. Știind că $p$ este prim, arătați că $p\nmid ab-cd$.
(Marian Andronache)

[sunken rock]

Form 7, Pr. 2
Easy to see, $L$ is the symmetrical of $C$ w.r.t. $AS$, hence $S$ is the center of triangle $\triangle ACL$; since $D$ is midpoint of $AL$, we get $\frac{CM}{AM}=\frac{BC}{AL}=\frac{1}{2}$. Because $S$ is the center of $\triangle ACL, S$ divides the median at $A$ at the same ratio, so $MS\parallel CL$.

Best regards,
sunken rock

[sunken rock]

Form 7, Pr. 4
Hint: The circle$\odot (ABB^\prime)$ intersects $BC$ at $D; BB^\prime$ angle bisector means $AB^\prime = DB^\prime, ABDB^\prime$ cyclic means $\triangle B^{\prime}CD$ isosceles, so $DB^\prime=CD$ and, finally, $BC=BB^\prime +AB^\prime$ means $\triangle BDB^\prime$ isosceles. You will get $\hat B=\hat C=40^\circ$.

Best regards,
sunken rock