Centrul de greutate al unui tetraedru

[mihai miculita]

Intr-un tetraedru $ABCD$ notam cu $G_a, G_b, G_c$ si cu $G_d$ centrele de greutate ale fetelor $BCD, ACD, ABD$ si respectiv $ABC$; iar cu $M_{ab}. M_{ac}, M_{ad}, M_{bc}, M_{bd}, M_{cd}$ mijloacele muchiilor $[AB], [AC], [AD], [BC], [CD]$ si respectiv $[CD]$.
Segmentele $[AG_a], [BG_b], [CG_c], [DG_d]$(care unesc varfurile cu centrele de greutate ale fetelor opuse) se mumesc mediamele tetraedrului $ABCD$; iar segmentele $[M_{ab}M_{cd}], [M_{ac}M_{bd}], [M_{ad}M_{bc}]$(care unesc mijloacele muchiilor opuse), se numesc bimedianele tetraedrului.
Sa se arata ca medianele si bimedianele unui tetraedru $ABCD$ sunt concurente intr-un acelasi punct $G$, numit centrul de greutate al tetraedrului.
In plus au loc relatiile:
(i). $|GA|=3.|GG_a|; |GB|=3.|GG_b|; |GC|=3.|GG_c|; |GD|=3.|GG_d|;$
(ii). $|GM_{ab}|=|GM_{cd}|; |GM_{ac}|=|GM_{bd}|; |GM_{ad}|=|GM_{bc}|.$

INDICATII:
(i). Aratati ca in $\triangle{ABM_{cd}}$avem $AG_a\cap BG_b=\{G\}$ si $\triangle {ABG}\sim\triangle{G_aG_bG}$ cu $\frac{|GA|}{|GG_a|}=\frac{|AB|}{|G_aG_b|}=3.$
Aratati apoi ca $G\in M_{ab}M_{cd}.$
(ii). Aratati ca mijloacele unui patrulater plan sau stramb($^1$) sunt varfurile unui paralelogram.
___________________________________________
($^1$) "Patrulater stramb"=patrulater ale carui varfuri sunt necoplanare.

[Moldovan Bogdan]

vectorial iese in 3 randuri

[andreiilie]

frumoasa demonstratie, bogdan

[Moldovan Bogdan]

demonstratia foarte frumoasa se gaseste in :"Introducere in geometria tetraedrului" si "Analogii triunghi tetraedru" = doua carti scrise de un profesor de pe la Oradea ,cred eu!

[Moldovan Bogdan]

Va rog sa ma ajutati la urmatoarea problema:
Demonstrati ca un plan ce taie un tetraedru si contine o bimediana imaprte tetraedrul in 2 corpuri de volume egale.

[mihai miculita]

Problema se gaseste intr-una dintre cartile citate de tine, in: "ANALOGII TRIUNGHI-TETRAEDRU", ea face obiectul problemei 42' de la pag.97 si solutia ei este la pag.111.
______________________________________________
Cele doua carti citate de catre Moldovan Bogdan sunt:
1). Mihai Miculita: INTRODUCERE GEOMETRIA TETRAEDRULUI, si a aparut in anul 1994 la ed. MINIED din Iasi.
2). Mihai Miculita si Dan Branzei: ANALOGII TRIUNGHI-TETRAEDRU, aparuta la ed. Paralela 45 din Pitesti in anul 2000.