Cupa Dunarii 2011

[andreiilie]

Problema 1
In interiorul patrulaterului ABCM se consifera punctul D astfel incat ABCD sa fie paralelogram. Se stie ca $\angle AMD = \angle BMC$. Aratati ca $\angle MAD = \angle MCD$.

Problema 2
Fie S o multime de numere naturale nenule, astfel incat $\min\,\{c.m.m.m.c(x,y):x,y \in S, x \neq y\}\ge 2+\max\, S.$
Sa se arate ca $\sum_{(x \in S)} \frac{1}{x}<\frac{3}{2}$.

Problema 3
Determianti toate numerele naturale n care au urmatoarea proprietate : suma patratelor oricaror n numere prime mai mari cdecat 3 este divizibila cu n.

Problema 4
Fie n un numar natural nenul. Sa se determine numarul maxim de muchii pe care le poate avea un graf hamiltonian simplu cu n varfuri care nu contine niciun triunghi ( graf simplu: fara bucle si fara mai mult de o muchie intre doua varfuri; graf hamiltonian: are un ciclu care trece prin toate varfurile grafului).

*Timp de lucru 4:30 ore.
**Fiecare problema valoreaza 7 puncte.

Solutiile complete vor fi postate la linkul fiecarei probleme in parte.

[Mr. Ady]

Prima problema iese din teorema sin aplicata in 4 triunghiuri, iar a 3 a se bazeaza pe faptul ca daca $x$ prim, $x \ge 5$, atunci $x^{2}=M_{24}+1$