Concursul "Teodor Topan", Simleu Silvaniei, 19-20 Noiembrie

[turcas]

Clasa a V-a

Problema 1
Peste 14 ani Andrei va avea varsta pe care o avea acum 12 ani tatăl sau, iar peste 10 ani varsta
lui Andrei va fi de două ori mai mică decat varsta tatalui. Ce varsta au acum Andrei si tatal sau ?

Problema 2

Fie $m \geq 2$ un numar natural si $a=5^0 + 5^1+ \dots + 5^m$.

a) Aflati ultimele doua cifre ale numarului $4a$;
b) Demonstrati ca daca $m+1$ se divide cu $3$, atunci $a$ se divide cu $31$;
c) Ce resturi se pot obtine prin impartirea lui $a$ la $31$.

Problema 3

a) Gasiti trei patrate perfecte de forma $3^m+3^n$ , unde $m,n$ sunt numere naturale.
b) Demonstrati ca nu exista patrate perfecte de forma $6^m + 6^n$ unde $m,n$ sunt numere naturale.

Problema 4

Numerele $31459$, $112358$ au proprietatea ca fiecare cifra a lor, incepand cu a 3-a, este egala cu suma precedentelor doua cifre.
a) Aflati cel mai mare numar de $6$ cifre cu aceasta proprietate.
b) Aflati cel mai mare numar cu aceasta proprietate.

Clasa a VI-a

Problema 1

Unghiurile adiacente $\angle AOB$ si $\angle BOC$ au proprietatea ca $m(\angle AOB)=3 \cdot m(\angle BOC)$.
Aflati masura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $\angle AOB$ si $\angle BOC$, stiind ca $m (\angle AOC) = 60^{\circ}$.

Problema 2

Intr-o familie sunt 6 frati si fiecare are varsta exprimata printr-un numar prim. Aflati varstele
celor sase frati, stiind ca fratii mai mari au respectiv cu 2, 6, 8, 12 şi 14 ani mai mult decat cel mic.

Problema 3

Aflati cel mai mic multiplu de 9 din sirul: 1, 12, 127, 1271, 12712, 127127, 1271271,
12712712,…

Problema 4

Fie $A=\overline{abcde1}$, un numar de 6 cifre cu proprietatea ca $A$ se divide cu fiecare din cifrele $a,b,c,d,e$. Demonstrati ca multimea primelor $5$ cifre ale numarului $A$ are cel mult $3$ elemente.

Clasa a VII-a

Problema 1

In patrulaterul convex $ABCD$ notam cu $M$ mijlocul laturii $BC$ si cu $N$ mijlocul laturii $CD$ .
Fie $P$ intersectia dreptelor $AM$ si $DB$ , iar $Q$ intersectia dreptelor $AN$ si $DB$ . Demonstrati ca
$DQ = QP = PB$ daca si numai daca $ABCD$ este paralelogram.

Problema 2

Pe laturile $AB$ si $AC$ ale triunghiului dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle A)=90^{circ}$ se considera respectiv punctele $K,L,M,N$ astfel incat $m( \angle KCB) = m(\angle LCK)=\frac{1}{3} m(\angle ACB)$ si $m(\angle MBC)=m(\angle NBM)= \frac{1}{3} m(\angle ABC)$. Fie $P$ punctul de intersectie al dreptelor $BM$ si $CK$, iar $Q$ punctul de intersectie a dreptelor $BN$ si $CL$. Demonstrati ca $QP = QL = QN$.

Problema 3

a) Aratati ca $\frac{2^{n-1}}{\left(2^n+1 \right)\left( 2^{n+1}+1 \right) }=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2^{n}+1}-\frac{1}{2^{n+1}+1} \right)$.
b) Determinati numarul natural nenul $n$ astfel incat:

$\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 9}+ \dots + \frac{2^{n-1}}{ \left(2^n+1 \right)\left(2^{n+1}+1 \right) }=\frac{2^{2010}-1}{3(2^{2011}+1)}$.

Problema 4

Un numar natural $m >1$ se numeste perfect daca suma tuturor divizorilor naturali ai sai este egala cu $2m$.

a) Aratati ca daca $2^n-1$ este un numar prim, atunci numarul $2^{n-1}(2^n-1)$ este perfect (de exemplu numarul $28$ este perfect).

b) Demonstrati ca daca $m$ este un numar perfect, iar $1=d_1< d_2 < \dots < d_k=m$ sunt divizorii sai pozitivi, atunci $\frac{1}{d_1}+ \frac{1}{d_2}+ \dots + \frac{1}{d_k}=2$.

Clasa a VIII-a

Problema 1

Fie $a >0$. Determinati numerele reale $x_1, x_2, \dots, x_{2010}$ stiind ca

$2a \left( \sqrt{x_1^2-a^2}+\sqrt{x_2^2-a^2}+\dots + \sqrt{x_{2010}^2-a^2} \right)$ $=x_1^2+x_2^2+ \dots + x_{2010}^2$.

Problema 2

Demonstrati ca numarul $\overline{a_1 a_2 \dots a_n 25}$ este patrat perfect daca si numai daca $\overline{a_1a_2 \dots a_n}$ este
produsul a doua numere naturale consecutive (de exemplu, numerele $225, 7225, 11025$ sunt patrate
perfecte).

Problema 3

Se considera punctele necoplanare $A,B,C,D$ astfel incat $AB \perp AC$, $DB \perp AB, DC \perp AC$. Notam cu $E$ si $F$. Notam cu $E$ si $F$, respectiv mijloacele segmentelor $[AD]$ si $BC$. Demonstrati ca $EF \perp (ABC)$.

Problema 4

Numerele reale $x,y,z,t$ au proprietatea ca $x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}+t^{2010}=1$ si exista $k \in \mathbb{N}, k >2010$, impar astfel incat $x^k+y^k+z^k+t^k=1$. Aratati ca $x^n+y^n+z^n+t^n=1$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Clasa a IX-a

Problema 1

Sa se demonstreze ca pentru orice numere reale $x,y$ are loc inegalitatea: $2(x^4+y^4) \geq xy(x+y)^2$.

Problema 2

Fie $(u_n)_{n \geq 1}$ sirul de numere cu termenul general $u_n= \frac{n}{2}$, daca $n$ este un numar par, respectiv $u_n=\frac{n-1}{2}$. Definim $f(n)=u_1+u_2+ \dots + u_n$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Problema 3

Determinati numerele naturale $n \geq 1$ cu proprietatea ca:
$2^n+5^n+11^n$ se divide cu $9$.

Problema 4

Fie $m,n$ doua numere naturale prime intre ele si $q=(m-n)^2$, respectiv $r=m^2-mn+n^2$.

a) Demonstrati ca daca $p$ este un numar prim care divide pe $q$ si $r$, atunci $p$ divide pe $mn, m-n, m^2$ si pe $n^2$.
b) Aflati cel mai mare divizor comun al numerelor $q$ si $r$.

Clasa a X-a

Problema 1

Fie $k \geq 2$ un numar natural si $n_1,n_2, \dots, n_k$ numere naturale nenule. Sa se arate ca nu exista numere rationale $x_1, \dots, x_k$ si $y_1, \dots, y_k$ astfel incat:

$(x_1+\sqrt{2}y_1)^{n_1}+ \dots + (x_k+\sqrt{2} y_k)^{n_k}=5+4 \sqrt{2}$.

Problema 2

Sa se rezolve in numere reale ecuatia:
$2^{[x]}=2x+1,$ unde am notat cu $[x]$ , partea întreaga a numarului real $x$ .

Probelma 3

Fie $ABC$ un triunghi. Demonstrati ca daca pentru trei puncte distincte $M_1, M_2, M_3$ de pe segmentul inchis $[AB]$ are loc relatia:

$CM_i^2 \cdot AB^2=AM_i^2\cdot BC^2+BM_i^2 \cdot AC^2$, pentru $i=\overline{1,3}$, atunci triunghiul $ABC$ este dreptunghic in $A$.

Problema 4

Sa se rezolve sistemul:

$\left\{\begin{array}{c}x+3y+[2x]+2[4y]=18 \\ 5x+y+2[2x]-[4y]=0 \end{array}$,

pe multimea numerelor reale pozitive. Am notat cu $[a]$ partea intreaga a numarului real $a$.

Clasa a XI-a

Problema 1

Se considera matricea $A_a=\left( \begin{array}{cc} \cos{2a \pi} & -\sin{2a \pi} \\ \sin{2a\pi} & \cos{2a\pi} \end{array} \right)$, unde $a \in \mathbb{R}$. Sa se arate ca:

a) Exista $k \in \mathbb{N}^{*}$, astfel incat $A_a^k=I_2$, daca si numai daca $a \in \mathbb{Q}$;
b) Fiind dat un numar natural $n \in \mathbb{N}^{*}$, atunci $n=min\{k \in \mathbb{N}^{*} : A^k=I_2 \}$, daca si numai daca $a= \frac{b}{n}$ cu $b \in \mathbb{Z}$ si $(b,n)=1$.

Problema 2

Fie sirul $(x_n)_{n\geq 0}$ cu $x_0=0$ si $x_n=\sqrt{n^2+x_{n-1}}$, pentru $n \geq 1$.

a) Sa se arate ca $n \leq x_n \leq n+1$;
b) Sa se calculeze $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_n}{n}$;
c) Sa se calculeze $\lim\limits_{n \to \infty} (x_n-n)$.

Problema 3

Fie $a >0$ si $b \in \mathbb{R}$. Se considera sirul $(x_n)_{n \geq 1 }$ cu proprietatile: $x_1=b$ si $x_n = x_{n-1}+\ln( e^{x_{n-1}} + a+1)$, oricare ar fi $n \geq 2$.

a) Sa se arate ca are loc relatia $e^{x_n}=e^{2x_{n-1}}+(a+1)e^{x_{n-1}}$.
b) Sa se calculeze $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{e^{x_{n+1}}}{ (e^{x_1}+1)(e^{x_2}+2)\dots(e^{x_n}+1)}$.

Problema 4

Se considera multimea $G$ a matricelor $A \in \mathcal{M}_2 \left(\mathbb{C} \right)$, de forma $A= \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right)$, cu $a,b \neq 0$. Sa se determine submultimile $H$, cu 7 elemente, ale multimii $G$ cu proprietatea ca: $B \cdot C \in H$, oricare ar fi $B,C \in H$.

Clasa a XII-a

Problema 1

Determinati functia derivabila $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ pentru care avem $f(0)=0$ si

$f^{\prime} (\sqrt[3]{x}) = \left\{ \begin{array}{c} x^3-3x^2+x, \text{ daca } x \in (-\infty;1] \\ -x -\ln(x), \text{ daca } x \in (1; \infty)\end{array}$.

Problema 2

Fie $(G, \cdot)$ un grup cu un numar impar de elemente si $H \neq G$ un subgrup al sau. Sa se arate ca:
a) $a \in H$ daca si numai daca $a^2 \in H$;
b) Exista $a,b \in G \setminus H$ astfel incat $ab \in G \setminus H$

Problema 3

Fie $r$ si $s$ doua numere reale. Sa se determine numerele reale $a$ si $b$ astfel incat functia $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita prin:

$f(x)=(x^2+ax+b)sgn(x^2+rx+s)$, oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$,

admite primitive pe $\mathbb{R}$ si determinati o primitiva $F$ a functiei $f$ pe $\mathbb{R}$.

Problema 4

Fie $(G, \cdot)$ un grup care contine un singur element de ordinul $2$. Daca notam cu $a \in G$ elementul respectiv, sa se arate ca $a \cdot g = g \cdot a$, oricare ar fi $g \in G$.

[Adriana Nistor]

Clasa XI,subiectul 2
a)Se demonstreaza prin inductie propozitia.
pentru $n=0$ avem $0\le x_0\le 1$ Presupunem demonstrat pt n=k-1 si demonstram pt n=k.
$k<\sqrt{k^2+k-1}\le\sqrt{x^2+x_{k-1}}\le\sqrt{k^2+k}<{k+1}$, deci $k<x_k<k+1$.Prin inductie concluzionam ca $n\le x_n\le n+1$ (1)
b)Impartind relatia (1) cu n obtinem $1\le \frac{x_n}{n}\le 1+\frac{1}{n}$ si,trecand la limita, avem $\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x_n}{n}}=1$
c)$x_n^2=n^2+x_{n-1}\Rightarrow (x_n-n)(x_n+n)=x_{n-1}\Rightarrow x_n-n=\frac{x_{n-1}}{x_n+n}$(criteriul clestelui) si cum $\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x_{n-1}}{x_n+n}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}{(x_n-n)}=\frac{1}{2}$

[Bogoşel Beniamin]

Apreciez munca userului Turcas pentru postarea problemelor, insa pe viitor ar fi de dorit ca fiecare problema sa fie postata la clasa ei, si in rubrica concursuri sa fie prezentate doar linkurile la probleme. Multumesc pentru intelegere.