1. Intr-o clasa sunt 6 baieti si 18 fete. La un test, media notelor baietilor a fost 8, iar media notelor feltelor a fost 8,(3). Notele primite de elevi au fost numere naturale nenule mai mici sau egale cu 10.
a) Calculati media notelor tutuor elevilor din clasa.
b) Aratati ca cel putin doi baieti au primit la test aceeasi nota.
2. Determinati numarul natural scris in baza 10 cu trei cifre care, impartit la rasturnatul sau, da catul 4 si restul 117.
3. Determinati toate numerele naturale $n$ cu proprietatea ca $\frac{5}{6}<\frac{20}{n+1}<\frac{7}{8}$.
4. Paul, mama sa si bunicul sau au impreuna 90 ani. Peste doi ani mama va avea varsta de 8 ori mai mare decat varsta lui paul, iar bunicul va avea varsta de doua ori mai mare decat varsta actuala a mamei. Ce varsta are fiecare persoana in prezent?
Clasa a VII-a
1. Determinati numerele naturale $a,b$ si $A=2^{a}\cdot 3^{b}$, stiind ca numarul $2\cdot A$ are cu 3 divizori mai multi decat $A$, iar $3\cdot A$ are cu 4 divizori mai multi decat $A$.
2. Se considera numerele $x=\frac{3n+2}{4}$ si $y=\frac{28}{3n+1}$, unde $n\in\mathbb{N}$.
a) Verificati daca numerele $x$ si $y$ pot fi simultan numere naturale;
b) Determinati numerele naturale $n$ pentru care $x\cdot y\in\mathbb{N}$.
3. Fie $A=\{x_{1},x_{2},...,x_{8}\}\subset\mathbb{Z}$. Suma elementelor din multimea $A$ este egala cu 0. Fiecare element $x_{i}\in A$, $i\in\{1,2,...,8\}$ se inmulteste cu suma celorlalte elemente din $A$ si se obtine produsul $P_{i}$. Definim $S_{a}=P_{1}+P_{2}+...+P_{8}$.
a) Aratati ca $S_{a}<0$;
b) Determinati multimile $A$ cu proprietatile ca $S_{A}=-200$, iar modulele elementelor din $A$ sunt distincte si cel mult egale cu 8.
4. Fie $M$ mijlocul laturii $[BC]$ a triunghiului ascutitunghic $ABC$. Pe laturile $[AB]$ si $[AC]$ se construiesc, in exterior, triunghiurile isoscele $ABD$ si $ACE$ astfel incat $AB=AD$, $AC=AE$, iar unghiurile $\widehat{DAB}$ si $\widehat{CAE}$ sa fie suplementare.
Demonstrati ca $AM=\frac{1}{2}\cdot DE$.
Clasa a VIII-a
1. a) Determinati numerele intregi $a$ si $b$ astfel incat $(\sqrt{2}+1)^{-2}=a+b\cdot\sqrt{2}$;
b) Aratati ca $(3-2\sqrt{2})^{5}<0,001$.
2. Se considera numerele reale pozitive $a$ si $b$.
a) Demonstrati ca $\frac{\sqrt{a}}{b+1}+\frac{\sqrt{b}}{a+1}\geq\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}$;
b) Determinati numerele $a$ si $b$ stiind ca $\frac{\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}\geq 1$.
3. Determinati numerele reale $x$ care verifica inegalitatea $|4x^{2}-1|+|4x-5|\leq 3$.
4. Se considera triunghiul isoscel $ABC$, $m(\angle A)=90^{\circ}$ si punctul $E$ exterior triunghiului astfel incat $m(\widehat{BEC})=135^{\circ}$.
a) Aratati ca triunghiul $AEB$ este isoscel;
b) Punctul $D$ este mijlocul segmentului $[BC]$, $H$ este proiectia punctului $E$ pe dreapta $BC$, iar $J$ este proiectia punctului $A$ pe dreapta $DE$. Demonstrati ca $HJ=AD$.
Clasele IX-X
1. Fie triunghiul $ABC$, cu $AB<AC$ si $D$ piciorul bisectoarei din $A$. Pe semidreptele $(CA$ si $(BA$ luam punctele $P$, respectiv $Q$ astfel incat $CP=AB$ si $BQ=AC$. Notam $M$ intersectia dreptei $PQ$ cu $BC$.
a) Aratati ca dreptele $PQ$ si $AD$ sunt paralele.
b) Aratati ca $BD=MC$.
c) Aratati ca $AD$ este medie geometrica intre $MP$ si $MQ$.
- geo.png (4.7 KiB) Vizualizat de 3336 ori
11, ... . Aratati ca al $n$-lea termen din acest sir este $n+[\frac{1}{2}+\sqrt{n}]$, oricare ar fi $n\geq 1$.
3. Pe o tabla de sah sunt 33 de jetoane, asezate in patratele distincte. Aratati ca exista cel putin 5 jetoane care sunt situate, doua cate doua, pe linii si coloane diferite.
4. a) Aratati ca numarul $2010!$ este divizibil cu $3^{1000}$ (unde $2010!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2010$).
b) Aratati ca $(2010!)^3+3^{2010}$ nu este patrat perfect.
Clasele XI-XII
1. Cate numere dintre $1,2,\dots,2010$ se pot exprima in forma $[2x]+[4x]+[6x]+[8x],x\in\mathbb{R}$
2. Determinati toate functiile $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ care sunt marginite si au proprietatea: pentru orice $x,y\in\mathbb{Z}$, $f(xy)+f(x+y)=f(x)f(y)+1.$
3. a) Rezolvati ecuatia $\frac{\sin 3x}{\sin x}=3-4\sin^2 x.$
b) Aratati ca $\prod_{k=0}^{1024}\left(4\sin^2\frac{k\pi}{2048}-3\right)=3.$
4. Pentru fiecare numar natural $n>1$ notam cu $d_n$ numarul divizorilor sai pozitivi si cu $s_n$ suma acestora. Aratati ca $d_n\sqrt {n} <s_n<n\sqrt{2d_n}.$