OM, Moskova-2005(retea de 5 cercuri)

[mihai miculita]

Fie $ABC$ un triunghi ascutitunghic si $H$ ortocentrul sau. Notam cu $P_x;X\in\{A,B,C\}$ proiectia unui punct $P\neq H$ din interiorul triunghiului pe dreapta suport a laturii $[YZ]; \{X,Y,Z\}=\{A,B,C\}$. Aratati ca cercurile lui Euler ale triunghiurilor $ABC, PAB, PAC, PBC$ si $P_aP_bP_c$ (triunghiul podar al punctului $P$ fata de $\triangle{ABC}$) au un punct comun $Q$. (In legatura cu cercul lui Euler puteti consulta, pe acest FORUM, topicul: http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=37&t=490)

OBSERVATII:
1). In cazul in care $P=H$ cele 5 cercuri coincid;
2). Proprietatea are loc si in cazul in care punctul $P$ se gaseste in exteriorul triunghiului $ABC$;
3). In cazul in care punctul $P$ se gaseste pe cercul circumscris triunghiului $ABC$ punctele $P_x; X\in\{A,B,C\}$ se gasesc pe dreapta lui Simson $s$, a punctului $P$ fata de $\triangle{ABC}$ si $Q\in s$.