Yakutia 2011 Ziua 2 Juniori

[Catalin Fetoiu]

1.Toate numerele reale mai mari ca 1 sunt colorate in doua culori(fiecare culoare fiind folosita cel putin o data).Sa se demonstreze ca exista numerele reale $a$ si $b$ astfel incat numerele $a+b$ si $ab$ au culori diferite.

2.Un cerc care trece prin varfurile $A,B$ ale patrulaterului ciclic $ABCD$ intersecteaza diagonalele $AC$ si $BD$ ale acestuia in $E$ si $F$.Dreptele $AF$ si $BC$ se taie in $P$, iar dreptele $BE$ si $AD$ se taie in $Q$.Sa se demonstreze ca dreptele $PQ$ si $CD$ sunt paralele.

3.Intr-un cuvant cu mai mult de 10 litere oricare doua litere consectuive sunt diferite.Sa se demonstreze ca putem schimba locul a doua litere alaturate astfel incat noul cuvant sa NU fie periodic(adica sa NU poata fi impartit in subcuvinte identice).

4.Ducele Patratelor le-a lasat mostenire celor trei fii ai sai un teren de 100 $m^2$ impartit in 10000 de parcele de 1 $m^2$.Apoi el le-a aratat celor trei fii cate un punct din interiorul terenului si i-a daruit fiecarui fiu terenul format din parcelele ale caror centre se afla la distanta mai mica fata de punctul aratat fiului respectiv decat distantele fata de punctele celorlalti fii.In acest mod intregul teren a fost impartit intre fii.Este adevarat ca pentru orice alegere a celor trei puncte partea care ii revine fiecarui fiu este conectata(adikca este un traseu intre oricare doua parcele ale acestei parti format doar din parcele ale acesteia)?

[andreiteodor]

Fie p>4 si q>1 doua numere reale de culori diferite . Daca $p^2<4q$ si $q^2<4p$ , deducem ca :
$p^2<4q<4\sqrt{4p} \Rightarrow p^4<64p \Rightarrow p<4$, contradictie . Putem presupune $p^2 \ge 4q$. Luam $a=\dfrac{p+\sqrt{p^2-4q}}{2}$ si $b=\dfrac{p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$. Atunci a+b=p si ab=q au culori diferite.

[andreiteodor]

Problema 2:

Din ABCD inscriptibil $\Rightarrow \angle{ADB} \equiv \angle{BCE}$ sau $\angle{ADF} \equiv \angle{BCE}$ (1).
Din ABEF inscriptibil $\Rightarrow \angle{AFB} \equiv \angle{AEB} \Rightarrow \angle{AFD} \equiv \angle{BEC}$ (2).
Din (1) si (2) $\Rightarrow \triangle{ADF}\sim\triangle{BCE} \Rightarrow \angle{DAF}\equiv\angle{CBE}$ sau $\angle{PAQ}\equiv\angle{PBQ} \Rightarrow ABPQ$ inscriptibil , deci $\angle{AQP}$ si $\angle{ABP}$ suplementare . Cum ABCD este inscriptibil , $\angle{ADC}$ si $\angle{ABC}$ sunt suplementare . Atunci $\angle{ADC}\equiv\angle{AQP} \Rightarrow CD\parallel PQ$.