Yakutia 2011 ziua 1

[muscapaul]

1. Copii de culorile rosu verde si albastru stau in form de cerc. cand profesoara le-a spus copiilor colorati rosu care au un vecin verde sa ridice mana,20 de copii au ridicat mana. cand profesoara le-a spus copiilor albastri care au un vecin verde sa ridice mana 25 au ridicat mana. demonstrati ca un copil care a ridicat mana a avut doi vecini verzi.


2. Cercurile $w_1 w_2$ se intersecteaza in A si B. M este mijlocu lui AB. Punctele $S_1, S_2$ se afla pe dreapta AB.tangentele din $S_1$ la primul cerc il intersecteaza in $X_1, Y_1$ tangenele din $S_2$ la al doilea cerc il intersecteaza pe acesta in $X_2, Y_2$.Demonstrati a daca $X_1X_2$ trece prin M atunci si $Y_1Y_2$ trece prin M.


3.In fiecare patrat al unei table infinite de sah numarul minim de mutari care il lasa pe un cal sa ajunga in patratul acesta este scris pe patrat(calul se afla intr-un patrat O dat).Un patrat se numeste singular daca numarul 100 este scris in el si 101 in toate patratele care au o latura comuna cu el.Cate patrate singulare exista ?


4.Exista 10 bipatrate(x^4) si 100 de cuburi in multimea catorva intregi consecutivi. Demonstrati ca in aceasta multime se afla cel putin 2000 de patrate perfecte.