Probleme pregatire lot juniori - Timisoara 2011 ( ROMOP )

[mircea.lascu]

1. Exista $a, b \in \mathbb{N}$ astfel incat $(36a+b)(a+36b)$ sa fie o putere a lui $2$ ?

2. a) Aflati numerele naturale $m, n$ pentru care $4^m+2^n+5$ este patrat perfect.
b) Exista numere naturale $m, n$ pentru care $4^m+2^n+5$ este cub perfect?

3. Aflati numerele naturale $n$ cu proprietatea ca suma divizorilor pozitivi ai lui $n$ nu depaseste $(\sqrt n +1)^2$.

4. Exista o infinitate de numere prime $p$ pentru care ecuatia $x^2+x+1=py^2, \; x, y\in \mathbb{N}^{*}$ are solutie.

5. a) Pentru orice $n\geq 2$ exista $n+1$ numere naturale nenule, diferite doua cate doua, $x_1, ...,x_{n+1}$, astfel incat $\frac {1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+...+\frac{1}{x_n^2}=\frac{1}{x_{n+1}^2}$.
b) Aflati toate numerele naturale $n$ pentru care ecuatia $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+...+\frac{1}{x_n^2}=\frac{n+1}{x_{n+1}^2}$ are solutii in multimea numerelor naturale.

6. Aflati numerele naturale nenule $x, y, z$ pentru care $2^x+3^y=z^2$.

7. Ecuatia $x^2+y^2+z^2+3(x+y+z)+5=0$ nu are solutii rationale.

8. Aflati numerele naturale $n$ pentru care suma cifrelor numarului $n!$ este $9$.

9. Aflati toate numerele naturale $n<2011$ cu proprietatea ca orice numar $m$ astfel incat $1<m<n$ si $(n, m)=1$ este prim.

10. Nu exista numere naturale nenule $m, n$ pentru care $4mn-m-n$ este patrat perfect.

11. Nu exista patrate perfecte de forma $m^3+7 \quad (m\in \mathbb{N})$.

12. a) Daca $n\geq 3$ iar $x_1, ..., x_n$ sunt numere reale pozitive cu suma $1$, atunci $x_1x_2+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n \leq \frac{1}{4}$.
b) Daca $n\geq 4$, iar $x_1, ..., x_n$ sunt numere reale pozitive cu suma $1$, atunci $x_1x_2+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n +x_nx_1 \leq \frac{1}{4}$.

13. Fie $n$ un numar natural, $n\geq 5$. Demonstrati ca daca $1+2+...+n=3k$, atunci putem imparti numerele $1, 2, ..., n$ in $3$ grupe cu suma $k$.

14. Sa se arate ca intre numerele reale pozitive $a, b, c$ cu $abc=1$ are loc inegalitatea: $\frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)}\geq \frac{3}{2}$.

15. Aflati numerele reale $a, b, c, d, e$ stiind ca $a+b=c^2, b+c=d^2, c+d=e^2, d+e=a^2, e+a=b^2$.

16. Fie $n\in \mathbb{N}, n\geq 2$. Sa se afle cea mai mica valoare pe care o poate lua cel mai mare dintre numerele $\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_1+x_2},..., \frac{x_n}{1+x_1+...+x_n}$ unde $x_1, ..., x_n$ sunt numere pozitive cu suma $1$.

17. Fie $n\in \mathbb{N}, n\geq 3$. Aflati cea mai mica valoare pe care o poate lua numarul $\sum_{i, j=\overline{1, n}, i<j} x_ix_j$, unde $x_1, x_2, ...,x_n$ sunt numere reale cu $|x_i|\leq 1, \ \forall i=1, 2, ..., n$.

18. In fiecare din cele $64$ de patrate ale unei table de sah se scrie cate un numar natural. Numim ,,transformare" alegerea unui subpatrat $3\times3$ sau $4\times4$ si marirea cu $1$ a tuturor numerelor situate in patratelele patratului ales. Este adevarat ca pornind de la orice asezare initiala si efectuand un numar finit de transformari se poate obtine ca toate numerele de pe tabla sa se termine in aceeasi cifra?

19. Fie $P$ un punct interior triunghiului $ABC$, iar $A_1, B_1, C_1$ intersectiile dreptelor $AP, BP, CP$ cu laturile $BC, CA, AB$ (respectiv). Demonstrati ca unghiul $\angle C_1A_1B_1$ este drept daca si numai daca $(A_1B_1$ este bisectoarea unghiului $\angle AA_1C$, iar $(A_1C_1$ este bisectoarea unghiului $\angle AA_1B$.

20. Pe laturile $(BC), (CA), (AB)$ ale triunghiului $ABC$ se considera respectiv punctele $D, E, F$. Punctele $P, Q, R$ sunt punctele de intersectie cu cercul circumscris triunghiului $ABC$ ale dreptelor $AD, BE, CF$, diferite de $A, B, C$. Demonstrati inegalitatea $\frac{AD}{PD}+\frac{BE}{QE}+\frac{CF}{RF}\geq 9$.

21. Se da un triunghi $ABC$ in care $BC> \max\{AB, AC\}$ si fie punctele $P\in (AB), Q\in (AC)$ astfel incat $\angle PCB\equiv \angle BAC$ si $\angle QBC \equiv \angle BAC$. Demonstrati ca dreapta determinata de centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $ABC$ si $APQ$ este perpendiculara pe $BC$.

22. Un punct $P$ al cercului circumscris triunghiului $ABC$ se proiecteaza pe dreptele suport ale laturilor $[BC]$ si $[AC]$ in punctele $D$ si $E$. Notam cu $L$ si $M$ mijloacele segmentelor $[AD]$, respectiv $[BE]$. Sa se arate ca $LM\perp DE$.

23. Pe laturile triunghiului $ABC$ se construiesc in exterior triunghiurile isoscele $ABF, BCD, CAE$ avand ca baze laturile triunghiului $ABC$. Demonstrati ca perpendicularele din $A, B, C$ respectiv pe $EF, FD, DE$ sunt concurente.

24. In triunghiul ascutitunghic $ABC$ cu $AB \neq AC$ se duc inaltimile $BB^{\prime}$ si $CC^{\prime}$. Fie $M$ mijlocul lui $[BC]$, $H$ ortocentrul triunghiului $ABC$ si $\{D\}=B^{\prime}C^{\prime} \bigcap BC$. Demonstrati ca $DH \perp AM$.

25. Fie $M$ mijlocul laturii $[BC]$ a triunghiului $ABC$. Dreapta $MI$ intersecteaza $AH$ in $E$. Demonstrati ca $AE=r$.

26. Fie $P$ este un punct situat in interiorul triunghiului echilateral $ABC$ de latura $a$. Daca $PO=d$, atunci aria triunghiului de laturi de lungimi egale cu $MA, MB, MC$ este data de $S=\frac{\sqrt 3}{12}|a^2-3d^2|$.

27. Se considera triunghiul $ABC$ in care $(AD$ este bisectoarea unghiului $BAC, D\in(BC)$. Cercul care contine punctul $A$ si este tangent la dreapta $BC$ in punctul $D$ intersecteaza segmentele $[AB]$ si $[AC]$ in punctele $E$, respectiv $F$ si segmentul $(BF)$ in punctul $N$. Sa se demonstreze ca mijlocul segmentului $[BD]$ este situat pe dreapta $AN$.

28. Se considera un trapez $ABCD$ inscris in cercul $C(O,R)$. Fie $\{M\}=AC\cap BD$ si $\{T\}=AB\cap DC$. Paralela prin punctul $M$ la dreapta $BC$ intersecteaza cercul $C(O,R)$ in punctele $E$ si $F$. Sa se demonstreze ca dreapta $TE$ este tangenta la cercul $C(O,R)$.

29. Pe cercul $C(O,R)$ se considera punctele $A,B,C,D$ si $E$, in aceasta ordine, astfel incat $AC\parallel DE$, punctul $B$ apartine arcului $\stackrel{\frown}{AC}, M$ este mijlocul segmentului $[BD]$ si deasemenea $\angle AMB\equiv \angle BMC$. Sa se demonstreze ca mijlocul segmentului $[AC]$ se afla pe dreapta $BE$.

30. Se considera triunghiul $ABC$ cu $AB<AC$ si punctul $D\in(BC)$ astfel incat $AD\perp BC$. Sa se demonstreze ca exista un singur punct $M\in AD\setminus\{A\}$ astfel incat $\angle MBA\equiv \angle MCA$.

31. In triunghiul $ABC$ se considera inaltimea $AD, D\in(BC)$. Punctele $I_{1}$ si $I_{2}$ sunt centrele cercurilor inscrise in triunghiurile $ABD$, respectiv $ACD$. Dreapta $I_{1}I_{2}$ intersecteaza segmentele $(AB)$ si $(AC)$ in punctele $E$ si $F$. Sa se demonstreze ca triunghiul $AEF$ este isoscel daca si numai daca triunghiul $ABC$ este isoscel sau dreptunghic.

32. Se considera triunghiul $ABC$ in care $D$ este mijlocul laturii $[BC]$. Stiind ca exista punctele $M\in(AB)$ si $N\in(AC)$, cel putin unul diferit de mijlocul laturii respective, care verifica proprietatile $AM^{2}+AN^{2}=BM^{2}+CN^{2}$ si $\angle{MDN}\equiv\angle{BAC}$, sa se determine masura unghiului $BAC$.

33. Zece vapoare navigheaza pe o linie est-vest. Cinci dintre ele pleaca din est spre vest, iar celelalte cinci pleaca din vest inspre est. Cele zece vapoare navigheaza mereu cu o aceeasi viteza constanta. De oridecate ori doua vapoare se intalnesc, fiecare din ele se intoarce si isi continua drumul in sensul contrar. Cand toate vapoarele au ajuns din nou intr-un port, cate intalniri intre doua vapoare au avut loc?

34. La o gradinita copiii stau pe un rand cu fata la educatoare. Aceasta da comanda "la stanga". Copiii se intorc, care la stanga, care la dreapta. Apoi cand doi copii se trezesc fata-in-fata, acestia fac stanga imprejur. Demonstrati ca dupa un timp copiii stau nemiscati.

35. Un ceas mecanic avea geamul spart. La orele 12:00:00 trei muste s-au asezat pe cate un segment reprezentat de acul orar, minutar, respectiv secundar al ceasului si au ramas asezate pe ele la aceeasi distanta diferita de zero, de centrul discului determinat de cadranul ceasului. Cand pozitiile oricaror doua ace indicatoare coincideau, cele 2 muste asezate pe ele treceau una in locul celeilalte. In cazul in care coincideau pozitiile la toate cele 3 ace indicatoare, doar mustele de pe acul orar si cel secundar isi schimbau locul.
Cate rotatii complete de forma unui cerc imaginar generat de miscarea acului pe care se afla, a efectuat fiecare musca pana la ora 24:00:00?

36. Un cerc este impartit de $2n$ puncte in $2n$ arce de lungime 1. Aceste puncte sunt unite in perechi pentru a forma $n$ coarde. Fiecare din aceste coarde imparte cercul in doua arce, fiecare din ele avand lungimea un numar par. Aratati ca $n$ este par.

37. Un patrat $4\times4$ este impartit in patrate unitate. Unele din patratele se coloreaza. Determinati numarul colorarilor in care pe fiecare linie si coloana avem exact doua patratele colorate.

38. Intr-o tabla a inmultirii numarul situat pe linia a $i$-a si coloana a $j$-a este produsul $ij$. Dintr-o subtabla $m\times n$, cu $m$ si $n$ ambele impare, este inlaturat dreptunghiul interior $(m-2)\times (n-2)$ lasand in urma un cadru de latime 1. Patratelele cadrului se vopsesc alternativ cu alb si negru. Aratati ca suma numerelor din patratelele albe este egala cu suma numerelor din patratelele negre.

39. O tabla patrata este impartita in $n^2$ celule dreptunghiulare prin $n-1$ linii orizontale si $n-1$ linii verticale. Celulele se coloreaza alternativ in alb si negru, ca la o tabla de sah. Una din diagonale are proprietatea ca trece numai prin celule negre. Aratati ca aria totala a celulelor negre este cel putin cat aria totala a celulelor albe.

40. Determinati cel mai mare numar de figuri congruente cu $\begin{tabular}{c|c|c} \cline{1-2}\multicolumn{1}{|l|}{ }& &\\ \hline & & \multicolumn{1}{|l|}{ }\\ \cline{2-3} \end{tabular}$ care pot fi plasate pe o tabla $7\times7$ (fara suprapuneri) astfel ca fiecare figura sa acopere exact 4 patratele.

41. Fie $n\geq3$ un numar natural. $2n$ puncte impart un cerc in $2n$ arce. Fiecare arc poate avea lungimea $a, b$ sau $c$ si nicicare doua arce adiacente nu au aceeasi lungime. Cele $2n$ puncte se coloreaza alternativ cu rosu si albastru. Aratati ca poligonul cu $n$ laturi format cu varfurile rosii are acelasi perimetru si aceeasi arie ca si poligonul cu $n$ laturi format cu varfurile albastre.

42. Fiind dat un patrat $n\times n$, doi jucatori, $A$ si $B$, joaca urmatorul joc:
la inceput toate celulele patratului sunt goale, iar jucatorii joaca alternativ monede. Incepe jucatorul $A$. La fiecare mutare un jucator va plasa o moneda intr-o celula goala care nu se invecineaza cu nicio celula in care este deja o moneda. Jucatorul care face ultima mutare este castigatorul. Care jucator are strategie castigatoare si care este aceasta?
(Doua celule se numesc vecine daca au o latura comuna.)

43. Un joc se joaca pe o tabla $23\times23$. Primul jucator controleaza doi pioni care pornesc din coltul din dreapta-sus, respectiv stanga-jos. Cel de-al doilea jucator controleaza doi pioni care pornesc din celelalte doua colturi. Jucatorii muta alternativ. La fiecare mutare, un jucator poate muta unul dintre pionii sai pe o casuta libera vecina (una cu latura comuna). Primul jucator castiga daca daca pionii sai ajung in patrate vecine. Poate cel de-al doilea jucator sa-l impiedice pe primul sa castige ?

44. 2002 cartonase pe care sunt inscrise numerele de la 1 la 2002 sunt asezate cu fata in sus pe o masa. Doi jucatori aleg, alternativ, cate un cartonas de pe masa pana cand nu mai raman cartonase pe masa. Castiga jucatorul care are ultima cifra a sumei numerelor de pe cartonasele sale mai mare.
Care din cei doi jucatori are o strategie castigatoare si cum trebuie el sa joace ?

45. O moneda este plasata in coltul din stanga-jos al unei table de sah. Jucatorii $A$ si $B$ joaca urmatorul joc: $A$ incepe jocul si, atunci cand este la rand, fiecare jucator muta moneda intr-o pozitie care este imediat deasupra, la dreapta, la dreapta-sus, la stanga-sus sau la dreapta-jos. Jucatorul care efectueaza ultima mutare castiga. Care din cei doi jucatori are strategie castigatoare si care este aceasta ?

46. Avem trei cutii. Prima cutie contine 20 de monede, a doua cutie contine 30 de monede, iar a treia cutie contine 40 de monede. Doi jucatori joaca urmatorul joc:
fiecare jucator alege o cutie si scoate din ea un numar nenul de monede. Jucatorul care scoate ultima moneda castiga. Cine are strategie castigatoare si care este aceasta ?

47. Demonstrati ca pentru orice $x,y,z>0$ are loc inegalitatea $x^2+y^2+z^2+xyz+4\geq2(xy+yz+zx)$.

48. Daca $a,b,c\in(1,4)$, atunci $\dfrac{c^2+a^2}{-c+2a+2b}+\dfrac{a^2+2b^2}{-b+2c+2a}+\dfrac{b^2+3c^2}{-a+2b+2c}\geq\dfrac{2a+3b+4c}{6}$.

49. Se numeste numar cu ghinion, un numar cu suma cifrelor 13. Aflati $n\geq2$ minim pentru care exista $a_1,a_2,...,a_n$, numere cu ghinion cu suma un numar cu ghinion.

50. Parlamentul tarii Ainamor este partitionat in $n$ comitii, astfel incat
$\bullet$ 1) - fiecare parlamentar apartine uneia si uneia singure dintre comitii;
$\bullet$ 2) - fiecare comitie contine cel putin $5$ parlamentari;
$\bullet$ 3) - numerele de parlamentari din cele $n$ comitii sunt toate distincte.
Dupa o prima sesiune de lucru, comitiile sunt dizolvate si se incearca o noua partitionare, dupa aceleasi reguli de mai sus. Mai mult de atat, oricare doi parlamentari care au facut parte din aceiasi comitie veche, nu pot face parte impreuna dintr-o comitie noua. Se constata ca nu este posibila respectarea regulii 1), asa incat un numar de $N$ parlamentari ramin in afara noilor comitii.
i) Determinati numarul minim $N(n)$ de parlamentari care vor trebui sa ramana in afara noilor comitii.
ii) Aratati ca acest numar minim $N(n)$ poate fi efectiv realizat, pentru orice $n$.

51. In cate moduri poate fi scris numarul 2011 ca suma de numere naturale nenule (unul sau mai multe) care sunt ,,aproximativ egale" ?
Scrieri obtinute una din alta prin schimbarea ordinii termenilor nu se considera a fi diferite.
Doua numere se numesc ,,aproximativ egale" daca diferenta dintre ele este cel mult 1.

52. Aratati ca orice numar natural nenul poate fi reprezentat sub forma $3^{u_1}\cdot2^{v_1}+3^{u_2}\cdot2^{v_2}+...+3^{u_k}\cdot2^{v_k}$ cu $u_1,u_2,...,u_k,v_1,v_2,...,v_k\in\Bbb{N}$ verificand $u_1>u_2>...>u_k\geq0$ si $0\leq v_1<v_2<...<v_k$.

53. Fie $E$ si $F$ mijloacele laturilor $[BC]$, respectiv $[CD]$ ale patrulaterului convex $ABCD$. Segmentele $[AE], [AF]$ si $[EF]$ taie $ABCD$ in patru triunghiuri ale caror arii sunt patru numere naturale nenule consecutive. Aflati aria maxima a triunghiului $BAD$.

54. Pe tabla ai scrise numerele de la 1 la 1000. Inlocuieste doua numere, $a$ si $b$, cu numarul $ab+a+b$. Dupa repetari, ce numar ramane la sfarsit ? Este acesta mereu acelasi ?

55. Se poate pava un dreptunghi $2003\times2003$ cu dominouri $1\times2$ plasate orizontal si dreptunghiuri $1\times3$ plasate vertical ?

56. In trei gramezi sunt $51, 49$ si respectiv $5$ pietre. Poti fie impreuna doua gramezi, fie imparti o gramada continand un numar par de pietre in doua gramezi egale. Putem obtine $105$ gramezi cu cate o piatra ?

57. $101$ numere sunt scrise pe o tabla: $1^2,\,2^2,\,\ldots,\,101^2$. Alex alege doua numere si le inlocuieste cu modulul diferentei lor. El repeta aceasta operatie pana cand pe tabla ramane un singur numar. Care este cea mai mica valoare posibila a acestui numar ?

58. Sirul $1,\,3,\,4,\,9,\,10,\,12,\,13,\,\ldots$ consta din numerele naturale care sunt puteri ale lui $3$ sau se scriu ca suma de puteri distincte ale lui $3$. Gasiti cel de-al $100$-lea termen al sirului.

59. Numerele din sirul $101,\,104,\,109,\,116,\,\ldots$ sunt de forma $a_n=100+n^2$, unde $n=1,2,3,...$. Pentru fiecare $n$, notam $d_n$ cel mai mare divizor comun al numerelor $a_n$ si $a_{n+1}$. Aflati cea mai mare valoare a lui $d_n$ cand $n$ parcurge $\Bbb{N}^*$.





Gasiti aceste probleme si in fisierele atasate.