Baraj 3 JBMO 2011

[mircea.lascu]

Problema 1. Un numar natural $n$ are proprietatea $(p)$ daca in descompunerea canonica in factori primi ai lui $n$, $n=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot\ldots\cdot p_{j}^{\alpha_{j}}$ cel putin unul dintre factorii primi $p_{1},...,p_{j}$ are exponentul egal cu 2.
a) Aflati cel mai mare numar $k$ pentru care exista $k$ numere naturale consecutive care nu au proprietatea $(p)$.
b) Demonstrati ca exista o infinitate de numere naturale $n$ astfel incat $n$, $n+1$ si $n+2$ au proprietatea $(p)$.

Problema 2. Aflati multimile finite $A$ de $n\geq 2$ numere pozitive cu proprietatea ca suma patratelor oricaror doua elemente diferite ale lui $A$ apartine lui $A$.

Problema 3. Fie $ABC$ un triunghi, $I_{a}$ centrul cercului $A$-exinscris si $M$ simetricul sau fata de $BC$. Sa se demonstreze ca $AM$ e paralela cu dreapta Euler a triunghiului $BCI_{a}$.

Probema 4. Fie $m$ un numar natural nenul. Sa se determine cel mai mic numar natural $n$ pentru care exista numerele reale $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in(-1,1)$ cu proprietatea ca $|x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|=m+|x_{1}+x_{2}+...+x_{n}|$.

_____________
Olimpiada Nationala de Matematica
Al treilea test de selectie pentru juniori
Timisoara, 7 iunie 2011