Tabara MathTime - Problema 4, ziua II

[Mr. Ady]

Problema 4. Demonstrati inegalitatile

a) * $\sqrt{a+1}+\sqrt{2a-3}+\sqrt{50-3a}\leq 12$;

b) ** $a+b+c<abc$, unde $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$;

c) ** $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 9(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab),\ a,b,c>0$;

d) ** $1\geq a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+\ldots +a_{n-1}a_{n}+a_{n}a_{1}\geq -1$, unde $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=1$;

e) *** $a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+\ldots +a_{n}^{4}\geq a^{3}_{1}a_{2}+a_{2}^{3}a_{3}+\ldots +a_{n-1}^{3}a_{n}+a^{3}_{n}a_{1}$.

[BocanuMarius]

Problema 4. Demonstrati inegalitatile

b) ** $a+b+c<abc$, unde $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$;

$a=b=1,c=0$ nu verifica.

[BocanuMarius]

Problema 4. Demonstrati inegalitatile
c) ** $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 9(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab),\ a,b,c>0$;

Daca $a=b=c$, inegalitatea devine $24a^3\ge72a^6$, adica $1\ge3a^3$, evident fals, neavand restrictii pentru $a$.

[BocanuMarius]

Pentru e). Imnultim cu 4 si rescriem inegalitatea astfel $(a_1^4+a_1^4+a_1^4+a_2^4)+...+(a_n^4+a_n^4+a_n^4+a_1^4)\ge4(a_1^3a_2+...+a_n^3a_1)$( doar AM-GM).

[Stefan Spataru]

La a) aplicam $(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$

[seby]

Problema 4. Demonstrati inegalitatile

b) ** $a+b+c<abc$, unde $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$;
Daca am adauga in ipoteza conditiile a<0 si b,c>0 sau a,b,c<0,relatia devinde oare adevarata?

[drytime]

@seby Pentru primul caz, ia $a\rightarrow 0$ si $b,c\rightarrow 1$. Al doilea caz este in schimb bun, dar inegalitatea devine $a+b+c>abc$, pentru $a,b,c$ numere pozitive. De fapt este adevarata inegalitatea $a+b+c\geq \frac{9}{2}abc$, deoarece $2(a+b+c)=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 9abc$.