Principiul cutiei, clasele 7-8-9

[Doctor Gil]

Set probleme
Problema 1. Demonstrati ca dintre numere intregi putem alege unele a caror suma sa fie divizibila cu .
Problema 2. Demonstrati ca dintre numere naturale distincte mai mici decat putem alege astfel incat unul este egal cu suma celorlalte .
Problema 3. Demonstrati ca dintre numere naturale distincte mai mici decat putem alege unul egal cu sau doua cu suma .
Problema 4. Demonstrati ca , , exista astfel incat .
Problema 5. Demonstrati ca oricum am alege numere intregi, putem alege doua care au suma sau diferenta divizibila cu .
Problema 6. Demonstrati ca oricum am alege patrate perfecte diferite, se pot alege care au diferenta divizibila cu .
Problema 7. Demonstrati ca oricare ar fi de puncte intr-un disc de raza , exista un disc de raza ce acopera cel putin puncte.
Problema 8. Demonstrati ca in orice poligon convex cu laturi exista doua diagonale ce formeaza un unghi mai mic de .
Problema 9. Pe suprafata unui poligon cu aria asezam poligoane de arie . Demonstrati ca exista poligoane ce se intersecteaza dupa o arie mai mare de .
Problema 10. In interiorul unui patrat de latura asezam cateva cercuri ce au suma lungimilor egala cu . Demonstrati ca exista o dreapta care intersecteaza cel putin cercuri.
Problema 11. Fie demonstrati ca pentru orice , cu , exista astfel incat .
Problema 12. Demonstrati ca oricum asezam puncte in interiorul unui triunghi echilateral de latura , exista puncte intre care distata dintre ele este cel mult .
Problema 13. Determinati numarul maxim de numere rationale pozitive diferite cu proprietatea ca dintre oricare putem alege doua cu produsul .
Problema 14. Demonstrati ca daca printr-un punct din interiorul unui poligon regulat cu laturi trec diagonale, atunci acel punct este centrul poligonului.
Problema 15. Demonstrati ca dintre puncte din interiorul unui cub de muchie , exista intr-o sfera de raza .
Problema 16. Intr-un cub de muchie avem sfere cu suma ariilor egala cu . Demonstrati ca exista o dreapta ce intersecteaza macar sfere.
Problema 17. a) Cate numere naturale mai mici sau egale cu exista, divizibile cu , sau ?
b) Cate numere prime mai mici decat exista?
Problema 18. Cate moduri de a aseza persoane in linie exista? Dar in cerc?
Problema 19. In cate moduri putem imparti persoane in perechi?
Problema 20. In cate moduri putem pava un dreptunghi x cu placi x ?

Bibliografie: Matematică Gimnazială dincolo de manual, Autori: A. Ghioca, L. Cojocaru, editura GIL
Probleme de matematica, strategii de rezolvare, Autor: Arthur Engel, traducere: Mihai Baluna, editura GIL

[math_mat]

Problema 1

Consderam numerele k1,k1+k2,...,k1+k2+...+kn.

Daca unul este divizibil cu n,problema este rezolvata.
Daca nu,vom avea n resturi din multimea {1,2,...,n-1}.Din principiul cutiei,exista cel putin 2 numere congruente modulo n.Scazand aceste 2 numere,obtinem ca o suma de cateva numere este divizibila cu n.

[seby]

Obs:un caz particular al acestei probleme (adica n=2011) este la etapa 1 VO si GM clasa a 7a

[TheodorMunteanu]

De asemenea aici e un suport teoretic si cateva probleme de geometrie combinatorica.

[mihai miculita]

Problema 21:
Fiind date numere din intervalul , arătaţi că există printre ele numere, care sunt lungimile laturilor unui triunghi.

[Doru Damian]

Problema 21:
Partitonam intervalul in 4 intervale, astfel:. Deoarece avem 4 intervale, si 9 numere, rezulta din Principiul Cutiei ca vom avea cel putin 3 numere in acelasi interval. Dar se observa usor ca in oricare dintre aceste intervale s-ar afla numerele, suma oricaror 2 este strict mai mare decat al treilea, deci se poate construi un triunghi cu lungimile laturilor cele 3 numere.

[pop sever]

Solutia problemei 6 se gaseste in fisierul atasat .