Relatie intre ariile unor triunghiuri

mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Relatie intre ariile unor triunghiuri

Mesaj de mihai miculita »

Fie $ABC$ un triunghi oarecare şi să considerăm punctele de tangenţă ale cercurilor tritangente cu laturile triunghiului. Punctele de tangenţă ale cercului înscris determină un triunghi având aria $\Delta$, iar punctele de tangenţă ale cercurilor exânscrise determină alte trei triunghiuri având ariile notate cu $\Delta_a, \Delta_b, \Delta_c$. Arătaţi că au loc relaţiile: (i). $\frac{1}{\Delta}=\frac{1}{\Delta_a}+\frac{1}{\Delta_b}+\frac{1}{\Delta_c}$; (V.C.Bailey)
(ii). $\frac{\Delta_a}{r_a^2}+\frac{\Delta_b}{r_b^2}+\frac{\Delta_c}{r_c^2}=\frac{\Delta}{r^2}$; $r, r_a, r_b, r_c$ fiind razele celor trei cercuri tritangente corespunzatoare (Journal de Mathematiques Elementaires, 1889).
Cheian Dinis
Mesaje: 32
Membru din: Sâm Dec 11, 2010 4:01 pm

Re: Relatie intre ariile unor triunghiuri

Mesaj de Cheian Dinis »

Sper ca inteleg corect ,ca cercurile tritangente sunt cele exinscrise,daca asa atunci vom folosi 3 relatii destul de cunoscute in legatura cu cercurile exinscrise si triunghiurile podare(triunghiuri formate de proectiile unui punct pe laturile triunghiului),toate triunghiurile din conditie sunt triunghiuri podar ,in raport cu $\triangle ABC$
Prima relatie e aria triunghiului pedal a unui punct $P$ in raportul triunghiului cu raza cercului circumscris $R$:
$S=|R^2-OP^2|sinAsinBsinC\cdot \frac{1}{2}.$ http://mathworld.wolfram.com/PedalTriangle.html
cea de-a doua este distanta de la circumcentru la excentru:$OI_i^2=R^2+R\cdot r$ unde $r$ este raza cercului exinscris.http://demonstrations.wolfram.com/TheDi ... nExcenter/
Aplicind cele 2 relatii la ambele identitati din conditie, ele ambele se rezuma la $\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}=\dfrac{1}{r}$
Si cea de-a treia relatie ,probabil cea mai cunoscuta, este faptul ca $r_a=\dfrac{S}{p-a}$ unde $S$ este aria triunghiului $\triangle ABC$ si $p$ este semiperimetrul acestuia.http://mathworld.wolfram.com/Exradius.html
Vom obtine urmatoarea relatie $p=3p-a-b-c$ ceia ce este adevarat.
$Q.E.D.$
Great liars are also great magicians
Scrie răspuns