Tabara MathTime - Problema 2, ziua II

[Mr. Ady]

Problema 2. Demonstrati ca
a) * $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2},\ a,b,c>0$ - Nesbitt 1903

b) * $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}\geq 2,\ a,b,c,d>0$

c) ** $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq\frac{a+b+c}{3},\ a,b,c>0$

d) *** $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq\frac{3}{2}$, unde $a,b,c>0$ si $abc=1$.

[seby]

Pentru a) si b) formam o inegalitate tip Titu Andreescu.Amplificam la fiecare fractie pentru a avea $a^2$,$b^2$,$c^2$ (pentru a) si pentru b) rationalizam si pentru $d^2$ si aplicam inegalitatea mentionata mai sus

[seby]

Pentru c) Vezi http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=19&t=1812

[bilalkaan]

Sau la $c$ am putea sa spargem inegalitatea si sa demonstram ca $\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{2a-b}{3}$.

[mihai miculita]

In articolul din attachment gasiti 14 demonstratii ale inegalitatii lui NESBITT.

[Marius Stănean]

d) http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=19&t=1058