Tabăra MathTime - Problema 4, Ziua I - JUNIORI

[Laurențiu Ploscaru]

Determinați $a,b,c\in \Bbb{N}$ cu $1<a<b<c$ a.î. $(a-1)(b-1)(c-1)\mid (abc-1)$.

[andreiteodor]

Notam : $a-1=x;b-1=y;c-1=z$. Obtinem :
$xyz|(x+1)(y+1)(z+1)-1<=>xyz|xy+yz+zx+x+y+z$.
Evident $xyz\le xy+yz+zx+x+y+z<=>\sum \dfrac{1}{x}+\sum \dfrac{1}{xy}\ge 1$.Avem 0<x<y<z . Daca $x\ge 3=>y\ge 4;z\ge 5$ si vom avea :
$\sum \dfrac{1}{x}+\sum \dfrac{1}{xy}\le \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$$+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{20}<1$, contradictie.
Deci x=1 sau x=2. In primul caz , $yz|yz+2(y+z)+1$, deci $yz|2(y+z)+1=>y|2z+1$ si $z|2y+1$.Notam $2z+1=my$ si $2y+1=nz$. Adunand si tinanad cont ca 1<y<z, deducem ca 2y+1=z. Atunci $y|4y+3$, adica y|3, deci y=3 si z=7. Analog cazul celalalt.

[Bogdan Stanoiu]

Determinați $a,b,c\in \Bbb{N}$ cu $1<a<b<c$ a.î. $(a-1)(b-1)(c-1)\mid (abc-1)$.

Daca inlocuim in enuntul problemei produsul (a-1)(b-1)(c-1) cu cel mai mic multiplu comun al numerelor (a-1);(b-1);(c-1) ce se intampla ?