Viitori Olimpici - Problema 2

Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Viitori Olimpici - Problema 2

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

Se consideră un segment $AB$ și $2011$ puncte distincte în interiorul său. Punctul $A$ se colorează cu roșu, punctul $B$ cu negru, iar fiecare din cele $2011$ puncte considerate se colorează cu roșu sau cu negru. Arătați că, pentru cele $2012$ segmente care nu au nici-un alt punct comun din cele $2011$ puncte, determinate de ele, numărul segmentelor cu extremitățile colorate diferit nu poate fi egal cu numărul segmentelor cu extremitățile colorate cu aceeași culoare.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
andreiteodor
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti

Re: Viitori Olimpici - Problema 2

Mesaj de andreiteodor »

Atriubuim unui segment cu extremitatile moncolore valoarea 0 si unui segment cu capetele colorate diferit valoarea 1. Notam cu $S_n$ suma valorilor a (n+1) segmente determinate de n puncte din inerioriorul segmentului [AB]. Demonstam ca oricare ar fi n=0,2011 , $S_n$ este impara. Pentru n=0, este clar ca $S_0=1.$. In continuare aplicam inductia. Sa presupunem $S_n$ este impara . Sa mai adaugam un punct P in interiorul lui [AB] astfel incat P apartine segmentului [CD] (C si D se afla printre cele n puncte precedente si in interiorul lui [CD] nu mai exista niciun punct dintre cele n). Studiem cazurile:
i)C si D au aceesi culoare cu P=> [CD],[PC],[PD] au valoarea 0$=>S_n=S_{n+1}$
ii)C si D au aceeasi culoare , diferita de a lui P=>[CD] are valoarea 0 si [PC],[PD] au valoarea 1$=>S_{n+1}=S_n+2$
iii)C si D au culori diferite=> [CD] are valoarea 1 si exact unul din segmentele [PC],[PD] are valoarea 1$=>S_{n+1}=S_n$.
Deci $S_n$ este impara. Pentru ca $S_n\neq 1006$, concluzia este imediata.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: Viitori Olimpici - Problema 2

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

Altfel: (soluția mea din concurs)
Fie $a$ nr. de segmente $N-R$, $x$ nr. de segmente $R-R$ și $y$ nr. de segmente $N-N$. Presupunem, prin absurd, că $a=x+y$. Atunci $a=1006$.
Pentru cele $a$ segmente avem $a$ puncte roșii și $a$ puncte negre. Pentru cele $x$ segmente avem $2x$ puncte roșii, iar pentru cele $y$ segmente $2y$ puncte negre.
Dar observăm că în afară de $A$ și $B$, toate punctele au fost numărate de 2 ori. Deci avem $\frac{a+2x+1}{2}$ puncte roșii, iar evident numărul de puncte roșii este natural.
Deci $a$ e impar, contradicție, deoarece $1006$ e par.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Scrie răspuns