Viitori Olimpici - Problema 2

Viitori Olimpici - Problema 2

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Joi Aug 18, 2011 7:37 am

Se consideră un segment AB și 2011 puncte distincte în interiorul său. Punctul A se colorează cu roșu, punctul B cu negru, iar fiecare din cele 2011 puncte considerate se colorează cu roșu sau cu negru. Arătați că, pentru cele 2012 segmente care nu au nici-un alt punct comun din cele 2011 puncte, determinate de ele, numărul segmentelor cu extremitățile colorate diferit nu poate fi egal cu numărul segmentelor cu extremitățile colorate cu aceeași culoare.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Viitori Olimpici - Problema 2

Mesajde andreiteodor » Sâm Aug 20, 2011 1:00 pm

Atriubuim unui segment cu extremitatile moncolore valoarea 0 si unui segment cu capetele colorate diferit valoarea 1. Notam cu S_n suma valorilor a (n+1) segmente determinate de n puncte din inerioriorul segmentului [AB]. Demonstam ca oricare ar fi n=0,2011 , S_n este impara. Pentru n=0, este clar ca S_0=1.. In continuare aplicam inductia. Sa presupunem S_n este impara . Sa mai adaugam un punct P in interiorul lui [AB] astfel incat P apartine segmentului [CD] (C si D se afla printre cele n puncte precedente si in interiorul lui [CD] nu mai exista niciun punct dintre cele n). Studiem cazurile:
i)C si D au aceesi culoare cu P=> [CD],[PC],[PD] au valoarea 0=>S_n=S_{n+1}
ii)C si D au aceeasi culoare , diferita de a lui P=>[CD] are valoarea 0 si [PC],[PD] au valoarea 1=>S_{n+1}=S_n+2
iii)C si D au culori diferite=> [CD] are valoarea 1 si exact unul din segmentele [PC],[PD] are valoarea 1=>S_{n+1}=S_n.
Deci S_n este impara. Pentru ca S_n\neq 1006, concluzia este imediata.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti

Re: Viitori Olimpici - Problema 2

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Sâm Aug 20, 2011 1:13 pm

Altfel: (soluția mea din concurs)
Fie a nr. de segmente N-R, x nr. de segmente R-R și y nr. de segmente N-N. Presupunem, prin absurd, că a=x+y. Atunci a=1006.
Pentru cele a segmente avem a puncte roșii și a puncte negre. Pentru cele x segmente avem 2x puncte roșii, iar pentru cele y segmente 2y puncte negre.
Dar observăm că în afară de A și B, toate punctele au fost numărate de 2 ori. Deci avem \frac{a+2x+1}{2} puncte roșii, iar evident numărul de puncte roșii este natural.
Deci a e impar, contradicție, deoarece 1006 e par.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești


Înapoi la Probleme

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 0 vizitatori

cron