Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgescu

[Laurențiu Ploscaru]

Curs susținut de domn profesor Flavian Georgescu.

Problema 1 Rezolvați în numere prime ecuația: $p^3-q^5=(p+q)^2$.

Problema 2 Rezolvați în $\Bbb{Z}$ ecuația: $x^2-2^y=2021$.

Problema 3 Rezolvați în $\Bbb{N}$ ecuația: $3^x-5^y=z^2$.

Problema 4 Rezolvați în $\Bbb{Z}$ ecuația: $x^2+5=3^n$.

Problema 5 Rezolvați în $\Bbb{N}$ ecuația: $3^x+4^y=5^z$.

Problema 6 Rezolvați în $\Bbb{N}$ ecuația: $x^3+7=y^2$.

Problema 7 Rezolvați în numere impare ecuația: $x^n+2^{n-1}=y^2$.

Eventualele soluții se vor pune la link-urile corespunzătoare.

[Bogdan Stanoiu]

2) Pentru y<0 x nu are cum sa fie intreg
Daca y>2 rezulta ca 2^y se divide cu 8 si ar rezulta ca x^2 trebuie sa dea restul 5 la impartirea cu 8 ceea c e nu se poate.
Deci y poate lua valorile 0;1;2
Se verifica pentru fiecare caz daca exista solutii si ce solutii exista

[Bogdan Stanoiu]

4)Daca n<0 rezulta ca x nu este intreg.
Deci n este natural
Din considerente legate de modulo 4 , n trebuie sa fie par.
Deci n=2m
Avem ca 3^(2m)-x^2=5 adica
(3^m-x)(3^m+x)=5.......

[bilalkaan]

La subpunctul $6$ adunam $1$ si rezulta $x^3+8=y^2+1$ care e echivalenta cu $(x+2)(x^2-2x+4)=y^2+1$ si x e impar.Numarul $(x-1)^2+3$ e de forma $4m^2+3$ care are un divizor prim de forma $p=4k+3$.Ne rezulta $p/1$.

[bilalkaan]

La subpunctul $1$ luam ecuatia modulo $3$ si presupunem ca numerele sunt $\ge5$ de unde ne iese contradictia si avem solutia $p=7,q=3$.La subpunctul $3$ ne iese $z=2a$,dupa care luam ecuatia $mod4$ si ne iese si $x=2b$ .$(3^b-2a)(3^b+2a)=5^y$ si $3^b-2a=5^n$ si $3^b+2a=5^m$ si $n+m=y$.Ne va rezulta ca unica solutie e $x=2,y=1,z=2$.

[anamariaradu]

5) Cum $4^y=M_3+1$ si $3^x=M_3$ deducem ca $5^z=M_3+1 \implies z=$par. Fie $z=2a$. Avem:
$3^x= (5^a-2^y)(5^a+2^y)$
Consideram $3^n=(5^a-2^y)si 3^m=(5^a+2^y)$, cu $n<m$. Prin adunare:
$2\cdot 5^a=3^n(3{m-n}+1). \implies n=0$. Inlocuind avem:
$5^a-2^y=1$ .(de unde $a>1$)
Ultima cifra a lui $5^a$ este $5$ si deci ultima cifra a lui $2^y$ este $4 \implies y=par$. Fie $y=2c$. Avem:
$5^a-4^c=1 .$
Pt. $c=1$ avem $a=2$ de unde $y=2 ,z=2$ si $x=2$ .
Pt. $c\ge 2$ cum $4^c=M_3+1 \implies 5^a=M_3 +2$ de unde $a=$impar . Fie $a=2b+1$.
$5\cdot 25^b-4^c=1.$ $\implies M_8+5-M_8=1 \implies$ implosibil!

Singura solutie este $x=y=z=2.$

[stoianmihail]

La subpunctul 5 avem si solutia separata $x=0,y=1$ si $z=1$ din $3^0 + 4^1 = 5^1$.


"Ca iata adevarul ai iubit cele nearatate si cele ascunse ale intelepciunii Tale mi-ai aratat" - Psalmul 50
"Hristos ne iubeste pe toti,dragii mei" - Parintele Porfirie

[ghenghea1]

Problema 7: Ecuatia se mai scrie ca x^n+2^n=y^2+2^n-1...si totul se cam termina aici,deoarece membrul stang este de forma 4m+3,care nu poate divide membrul drept