22.03.2012 - algebra [cls IX-X]

mircea.lascu
Mesaje: 350
Membru din: Lun Iul 12, 2010 9:02 pm

22.03.2012 - algebra [cls IX-X]

Mesaj de mircea.lascu »

Fie $a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\neq0$ astfel incat numerele $a$ si $4a+3b+2c$ au acelasi semn.Sa se arate ca ecuatia $ax^2+bx+c=0$ nu poate avea ambele radacini in intervalul $(1,2)$.
TheodorMunteanu
Mesaje: 48
Membru din: Mar Aug 02, 2011 10:06 pm
Contact:

Re: 22.03.2012 - algebra [cls IX-X]

Mesaj de TheodorMunteanu »

$(x_1-1)(x_2-2)<0$
$(x_1-2)(x_2-1)<0$de unde rezulta urmatoarele 2 relatii:
$x_1x_2-x_1-2x_2+2<0$
$x_1x_2-2x_1-x_2+2<0$
daca le adunam obtinem $2x_1x_2-3(x_1+x_2)+4<0$dar din relatiile lui Viete ar rezulta ca $\frac{c}{a}\cdot 2+\frac{b}{a}\cdot 3+4<0$sau $\frac{2c+3b+4a}{a}<0$contradictie.
TheodorMunteanu
Mesaje: 48
Membru din: Mar Aug 02, 2011 10:06 pm
Contact:

Re: 22.03.2012 - algebra [cls IX-X]

Mesaj de TheodorMunteanu »

o problema pentru posteritate acum:
Daca $a$si $14b+7c+3d$au semne diferite atunci ecuatia $ax^3+bx^2+cx+d=0$nu poate avea toate radacinile in intervalul $(2,3)$
Marius Stănean
Mesaje: 751
Membru din: Mar Iul 13, 2010 7:15 am
Localitate: Zalau

Re: 22.03.2012 - algebra [cls IX-X]

Mesaj de Marius Stănean »

TheodorMunteanu scrie:o problema pentru posteritate acum:
Daca $a$si $14b+7c+3d$au semne diferite atunci ecuatia $ax^3+bx^2+cx+d=0$nu poate avea toate radacinile in intervalul $(2,3)$
este gresita, vezi $(2x-5)^3$


O problema similara pentru ec. de grad 3 ar fi:

Fie $a,b,c,d\in\Bbb{R}$, $a\neq0$ astfel incat numerele $a$ si $4b+4c+3d$ au acelasi semn.Sa se arate ca ecuatia $ax^3+bx^2+cx+d=0$ nu poate avea toate cele $3$ radacini in intervalul $(1,2)$.
Quae nocent docent
Scrie răspuns