Baraj 1 JBMO 2013

[Dan_Leonte]

Problema 1
Fie $a,b,c,d>0$cu $abcd=1.$ Sa se arate ca:
$\dfrac{1}{a+b+2}+\dfrac{1}{b+c+2}+\dfrac{1}{c+d+2}+\dfrac{1}{a+d+2}<1.$

Problema 2
Se dau greutatile de 1g,2g,3g,...,200g si se aseaza cate 100 pe fiecare din cele doua talere ale unei balante.Demonstrati ca se pot schimba 50 de greutati din talerul stang cu 50 de greutati din talerul drept astfel incat balanta sa fie in echilibru.

Problema 3
In planul unui cerc de centru O si raza r se considera se considera o dreapta care nu trece prin O.O lacusta sare dintr-un punct al cercului intr-un punct al dreptei, apoi inapoi pe cerc si asa mai departe,lungimea fiecarei sarituri fiind de raza r.Demonstrati ca lacusta poate ajunge in maximum 8 puncte ale planului.

Problema 4
In triunghiul ascutitunghic ABC cu $AB\neqAC$, D este piciorul bisectoarei din A, iar E si F sunt picioarele inaltimilor din B si C. Cercurile circumscrise $\triangle{DBF} si \triangle{DCE}$ se taie a doua oara in M.Aratati ca $ME=MF$.

Problema 5
a)Aratati ca pentru orice numar natural nenul n,exista $a,b \in \Bbb{R} \ \Bbb{Z}$ pentru care multimea
$A_n=${$(a-b),(a^2-b^2),...,(a^n-b^n)$}contine doar numere naturale nenule.
b) Fie a si b doua numere reale diferite cu proprietatea ca multimea
$A=${$(a^k-b^k), k \in \Bbb{N},k>0$} contine doar numere naturale. Aratati ca $a,b \in \Bbb{R}$