Subiectul 2, concursul Chindia, Targoviste 2013

[Mr. Ady]

Fie $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o functie strict crescatoare, cu proprietatea ca
$\frac{1}{x}+f(x) > 0$ si $f(\frac{1}{x} + f(x)) = \frac{1}{f(x)}$,
oricare ar fi $x>0$. Calculati $f(1)$. Dati exemplu de o astfel de functie.

[BocanuMarius]

Ideea generala este $f(\frac{1}{x}+f(x))f(x)=1$ si luand $y=\frac{1}{x}+f(x)$, obtinem (remarcand ca functia e injectiva) $f(x)+\frac{1}{x}=xf^2(x)$, de unde, in general $f(x)=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2x}$, si alegand, de exemplu semnul plus pentru toate numerele, e usor sa probam ca functia astfel obtinuta respecta cerintele.