inegalitate in 2 variabile
-
tony watson
- Mesaje: 1
- Membru din: Vin Noi 30, 2012 2:45 pm
inegalitate in 2 variabile
Demonstreaza ca daca $x^2+y^3\geq x^3+y^4$ atunci $x^3+y^3\leq 2$unde $x,y>0$
-
TheodorMunteanu
- Mesaje: 48
- Membru din: Mar Aug 02, 2011 10:06 pm
- Contact:
inegalitate in 2 variabile
Demonstram intai ca $x+y^2\geq x^2+y^3$
Pentru aceasta presupunem contrariul si deci avem sistemul $\begin{Bmatrix}x^2+y^3\geq x^3+y^4\\ x^2+y^3\geq x+y^2 \end{matrix}$
asadar dupa ce adunam aceste inegalitati obtinem ca $2x^2+2y^3>x^3+x+y^4+y^2\Rightarrow x^3-2x^2+x+y^4-2y^3+y^2<0$$\Leftrightarrow (x\sqrt{x}-\sqrt{x})^2+(y^2-y)^2<0$ contradictie.
Avem sirul de inegalitati $x+y^2\geq x^2+y^3\geq x^3+y^4$.Dar $1+x^2+1+y^4\geq 2x+2y^2\geq x^2+y^3+x^3+y^4$ de unde $x^3+y^3\geq 1+1=2$
Pentru aceasta presupunem contrariul si deci avem sistemul $\begin{Bmatrix}x^2+y^3\geq x^3+y^4\\ x^2+y^3\geq x+y^2 \end{matrix}$
asadar dupa ce adunam aceste inegalitati obtinem ca $2x^2+2y^3>x^3+x+y^4+y^2\Rightarrow x^3-2x^2+x+y^4-2y^3+y^2<0$$\Leftrightarrow (x\sqrt{x}-\sqrt{x})^2+(y^2-y)^2<0$ contradictie.
Avem sirul de inegalitati $x+y^2\geq x^2+y^3\geq x^3+y^4$.Dar $1+x^2+1+y^4\geq 2x+2y^2\geq x^2+y^3+x^3+y^4$ de unde $x^3+y^3\geq 1+1=2$