CLASA A VII-A
$1.$ Fie $ABCD$ un paralelogram. Bisectoarea $\widehat{ADC}$ intersectează dreapta $BC$ în $E$, iar mediatoarea laturii $[AD]$ intersectează dreapta $DE$ în punctul $M$.
Fie $\{F\}=AM\cap BC$. Să se arate că $DE=AF$ și că $AD\cdot AB=DE\cdot DM$.
(Daniela și Marius Lobază, Timișoara)
$2.$ Fie $a,b\in \Bbb{Z}$. Să se arate că $13|2a+3b$ dacă și numai dacă $13|2b-3a$ și că $13|a^{2}+b^{2}$ dacă și numai dacă $13|2a+3b$ sau $13|2b+3a$.
(Mircea Fianu, București)
$3.$ Fie $ABCD$ un trapez cu bazele $[AB]$ și $[CD]$ având $AC\cap BD=\{O\},\ m(\widehat{AOB})=90^\circ$.
Pe semidreptele $(OA$ și $(OB$ se consideră punctele $M$ respectiv $N$ a.î. $\widehat{ANC}$ și $\widehat{BMD}$ să fie drepte. Notăm cu $E$ mijlocul lui $[MN}$.
Să se arate că $\triangle OMN\sim \triangle OBA$ și că $OE\perp AB$.
(Claudiu Ștefan Popa, Iași)
$4.$ Pe o circumferință se scriu $2005$ numere naturale cu suma $7022$.
Să se arate că există două perechi formate din numere vecine a.î. suma elementelor din fiecare pereche să fie mai mare sau egală decât $8$.
(Marin Chirciu, Pitești)
CLASA A VIII-A
$1.$ Se consideră un cub cu muchia de lungime $1$.
Să se arate că un tetraedru cu vârfurile în mulțimea vârfurilor cubului are volumul $\frac{1}{6}\Leftrightarrow$ trei dintre vârfurile tetraedrului sunt vârfuri ale unei fețe a cubului.
(Dinu Șerbănescu, București)
$2.$ Pentru $n\in \Bbb{N}$, scris în baza $10$, notăm prin $p\left( n\right)$ produsul cifrelor sale. Să se demonstreze că $p\left( n\right) \leq n$.
Acum, determinați $n\in \Bbb{N}$ cu proprietatea $10p\left( n\right) =n^{2}+4n+2005$.
(Eugen Păltănea, Brașov)
$3.$ Fie prisma triunghiulară regulată $ABCA^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $[BB^{\prime }]$, respectiv $[BC]$, iar $m(\widehat{AB^{\prime };\ BC^{\prime }})=60^\circ$.
Fie $\{O\}=A^{\prime }C\cap AC^{\prime }$, iar $\{P\}=B^{\prime }C\cap C^{\prime }N$. Demonstrați că $AC^\prime \perp (OPM)$ și aflați $m\left(\widehat{AP;\ (OPM)}\right)$.
(Mircea Fianu, București)
$4.$ $a)$ Să se demonstreze inegalitatea: $\dfrac{u}{x}+\dfrac{v}{y}\geq \dfrac{4\left( yu+vx\right) }{\left(x+y\right) ^{2}}$, pentru orice numere $u,v,x,y>0.$
$b)$ Fie $a,b,c,d>0$. Să se demonstreze inegalitatea: $\dfrac{a}{b+2c+d}+\dfrac{b}{c+2d+a}+\dfrac{c}{d+2a+b}+\dfrac{d}{a+2b+c}\geq 1$.
(Traian Tămâian, Carei)
Anul 2005
-
- Mesaje: 216
- Membru din: Mar Iul 05, 2011 8:48 pm
Mergi la
- Concurs de Matematica MathTime
- Problema zilei
- Discutii pe clase
- ↳ Clasa a V-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a VI-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a VII-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a VIII-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a IX-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a X-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a XI-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a XII-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- Juniori II
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- Juniori
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- EGMO
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- Seniori
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- Probleme marca "Panaitopol"
- Tabara MathTime
- ↳ Juniori
- ↳ Seniori
- Teme pentru cercurile de elevi
- Olimpiada de Matematica
- ↳ Judeteana
- ↳ Nationala
- Resurse
- ↳ Olimpiada Internationala de Matematica
- ↳ Olimpiada Balcanica de Matematica
- ↳ Teste de Selectie Seniori
- ↳ Olimpiada Balcanica pentru Juniori
- ↳ Teste de Selectie Juniori
- ↳ Olimpiada Nationala de Matematica
- ↳ Olimpiade Locale
- ↳ Alte concursuri
- Chat de voie
- Recenzii la carti
- Revista
- LaTeX
- In memoriam