Anul 2005

Doctor Gil
Mesaje: 216
Membru din: Mar Iul 05, 2011 8:48 pm

Anul 2005

Mesaj de Doctor Gil »

CLASA A VII-A

$1.$ Fie $ABCD$ un paralelogram. Bisectoarea $\widehat{ADC}$ intersectează dreapta $BC$ în $E$, iar mediatoarea laturii $[AD]$ intersectează dreapta $DE$ în punctul $M$.
Fie $\{F\}=AM\cap BC$. Să se arate că $DE=AF$ și că $AD\cdot AB=DE\cdot DM$.
(Daniela și Marius Lobază, Timișoara)

$2.$ Fie $a,b\in \Bbb{Z}$. Să se arate că $13|2a+3b$ dacă și numai dacă $13|2b-3a$ și că $13|a^{2}+b^{2}$ dacă și numai dacă $13|2a+3b$ sau $13|2b+3a$.
(Mircea Fianu, București)

$3.$ Fie $ABCD$ un trapez cu bazele $[AB]$ și $[CD]$ având $AC\cap BD=\{O\},\ m(\widehat{AOB})=90^\circ$.
Pe semidreptele $(OA$ și $(OB$ se consideră punctele $M$ respectiv $N$ a.î. $\widehat{ANC}$ și $\widehat{BMD}$ să fie drepte. Notăm cu $E$ mijlocul lui $[MN}$.
Să se arate că $\triangle OMN\sim \triangle OBA$ și că $OE\perp AB$.
(Claudiu Ștefan Popa, Iași)

$4.$ Pe o circumferință se scriu $2005$ numere naturale cu suma $7022$.
Să se arate că există două perechi formate din numere vecine a.î. suma elementelor din fiecare pereche să fie mai mare sau egală decât $8$.
(Marin Chirciu, Pitești)

CLASA A VIII-A

$1.$ Se consideră un cub cu muchia de lungime $1$.
Să se arate că un tetraedru cu vârfurile în mulțimea vârfurilor cubului are volumul $\frac{1}{6}\Leftrightarrow$ trei dintre vârfurile tetraedrului sunt vârfuri ale unei fețe a cubului.
(Dinu Șerbănescu, București)

$2.$ Pentru $n\in \Bbb{N}$, scris în baza $10$, notăm prin $p\left( n\right)$ produsul cifrelor sale. Să se demonstreze că $p\left( n\right) \leq n$.
Acum, determinați $n\in \Bbb{N}$ cu proprietatea $10p\left( n\right) =n^{2}+4n+2005$.
(Eugen Păltănea, Brașov)

$3.$ Fie prisma triunghiulară regulată $ABCA^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $[BB^{\prime }]$, respectiv $[BC]$, iar $m(\widehat{AB^{\prime };\ BC^{\prime }})=60^\circ$.
Fie $\{O\}=A^{\prime }C\cap AC^{\prime }$, iar $\{P\}=B^{\prime }C\cap C^{\prime }N$. Demonstrați că $AC^\prime \perp (OPM)$ și aflați $m\left(\widehat{AP;\ (OPM)}\right)$.
(Mircea Fianu, București)

$4.$ $a)$ Să se demonstreze inegalitatea: $\dfrac{u}{x}+\dfrac{v}{y}\geq \dfrac{4\left( yu+vx\right) }{\left(x+y\right) ^{2}}$, pentru orice numere $u,v,x,y>0.$
$b)$ Fie $a,b,c,d>0$. Să se demonstreze inegalitatea: $\dfrac{a}{b+2c+d}+\dfrac{b}{c+2d+a}+\dfrac{c}{d+2a+b}+\dfrac{d}{a+2b+c}\geq 1$.
(Traian Tămâian, Carei)
Scrie răspuns