Anul 2007

[Doctor Gil]

CLASA A VII-A

$1.$ Laturile $a,\ b,\ c$ ale unui triunghi verifică relațiile $a+b-c=2$ și $ab-c^2=4$. Să se arate că triunghiul este echilateral.
(***)

$2.$ Se consideră $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ cu $AC=2AB$.
Fie $P$ și $Q$ mijloacele laturilor $[AB]$ respectiv $[AC]$, iar punctele $M,\ N$ pe latura $[BC]$ cu $CM=BN=x$, unde $2x<BC$.
Să se determine $x$ în funcție de $AB$ astfel încât $2\cdot S[MNPQ]=S[ABC]$.
(***)

$3.$ Se consideră $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ cu $AB<AC$. Fie punctul $D\in AC$ a.î. $\widehat{ACB}=\widehat{DBA}$. Punctul $E$ este proiecția punctului $D$ pe latura $[BC]$.
Știind că $BD+DE=AC$, să se afle măsurile unghiurilor $\triangle ABC$.
(Mircea Fianu, București)

$4.$ Fie $m,n\in \Bbb{N},\ m>1$ și $2^{2m+1}-n^2\ge 0$. Să se arate că $2^{2m+1}-n^2\ge 7$.
(C.T.C.)

CLASA A VIII-A

$1.$ Să se arate că $10^{10}$ nu poate fi scris ca produsul a două numere naturale a căror reprezentare zecimală să nu conțină cifra $0$.
(Adrian Stoica, București)

$2.$ Într-o clădire sunt $6018$ birouri în $2007$ camere, iar în fiecare cameră se află măcar un birou.
Orice cameră poate fi golită distribuind birourile în celelalte camere a.î. în acestea să fie un număr egal de birouri.
Să se determine modurile în care sunt dispuse birourile în clădire.
(Severius Moldoveanu, București)

$3.$ $a)$ Într-un $\triangle MNP$, lungimile laturilor sunt mai mici decât $2$. Arătați că lungimea înălțimii corespunzătoare laturii $[MN]$ este mai mică decât $\ds\sqrt{4-\ds\frac{MN^2}{4}}$.
$b)$ Într-un tetraedru $ABCD$, cel puțin $5$ muchii au lungimi mai mici decât $2$. Arătați că volumul tetraedrului este mai mic decât $1$.
(***)

$4.$ Fie ABCD un tertraedru. Demonstrați că dacă un punct M din spațiu satisface relația:
$MA^2+MB^2+CD^2=MB^2+MC^2+DA^2$ $=MC^2+MD^2+AB^2=MD^2+MA^2+BC^2$,
atunci aparține perpendicularei comune a dreptelor $AC$ și $BD$.
(Vasile Pop, Cluj-Napoca)