Anul 2008

[Doctor Gil]

CLASA A VII-A

$1.$ Fie $\triangle ABC$ ascuțitunghic cu $m(\hat{B})>m(\hat{C})$. Ducem înălțimea $AD$ cu $D\in (BC)$, iar apoi $DE\perp AC,\ E\in (AC)$. Considerăm $F\in (DE)$.
Arătați că $AF\perp BF$ dacă și numai dacă $DC\cdot EF=BD\cdot DE$.
(Vasile Pop, Cluj-Napoca)

$2.$ Un dreptunghi se poate împărți, ducând paralele la laturile sale în $200$ de pătrate congruente și în $288$ de pătrate congruente.
Arătați că dreptunghiul se poate împărți și în $392$ de pătrate congruente.
(Marius Perianu, Slatina)

$3.$ Fie $p,q,r$ trei numere prime a.î. $5\le p<q<r$. Știind că $2p^2-r^2\ge 49$ și $2q^2-r^2\le 193$, determinați $p,q,r$.
(***)

$4.$ Fie $ABCD$ un dreptunghi de centru $O$ cu $AB\neq BC$. Perpendiculara în $O$ pe $BD$ intersectează dreptele $AB$ și $BC$ în punctele $E$, respectiv $F$.
Fie $M$ și $N$ mijloacele segmentelor $CD$, respectiv $AD$. Arătați că $FM\perp EN$.
(***)

CLASA A VIII-A

$1.$ Un tetraedru are lungimile laturilor exprimate prin numere naturale astfel încât produsul lungimilor oricăror două muchii opuse este egal cu $6$.
Arătați că tetraedrul este o piramidă triunghiulară regulată în care muchiile laterale formează cu planul bazei unghiuri cu măsura mai mare sau egală cu $30^\circ$.
(Manuela Prajea, Drobeta Turnu-Severin)

$2.$ Numim succesiune admisibilă o înșiruire de 4 cifre pare în care nicio cifră nu apare de trei sau patru ori. Determinați numărul de succesiuni admisibile.
În plus, pentru orice $n\in \Bbb{N}, n\ge 2$, notăm cu $d_n$ numărul de posibilități de a completa cu cifre pare un tablou de $n\times 4$, respectând condițiile următoare:
$i)$ oricare linie (cele de lungime $4$) este o succesiune admisibilă;
$ii)$ succesiunea admisibilă $2,0,0,8$ ocupă o singură linie a tabloului.
Determinați valorile lui $n$ pentru care numărul $\dfrac{d_{n+1}}{d_n}$ este întreg;
(***)

$3.$ Fie $a,b\in [0,1]$. Demonstrați inegalitatea: $\dfrac{1}{1+a+b}\le 1-\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{ab}{3}$.
(Lucian Dragomir, Oțelu-Roșu)

$4.$ Se dă cubul $ABCDA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$. Pe muchiile $(A^\prime D^\prime),\ (A^\prime B^\prime),\ (A^\prime A)$ se consideră punctele $M_1,\ N_1$ și respectiv $P_1$.
Pe muchiile $(CB),\ (CD), (CC^\prime)$ se consideră punctele $M_2,\ N_2$ și respectiv $P_2$.
Notăm cu $d_1$ distanța dintre dreptele $M_1N_1$ și $M_2N_2$, cu $d_2$ distanța dintre dreptele $N_1P_1$ și $N_2P_2$, iar cu $d_3$ distanța dintre dreptele $P_1M_1$ și $P_2M_2$.
Presupunând că $d_1\neq d_2\neq d_3$, arătați că dreptele $M_1M_2,\ N_1N_2,\ P_1P_2$ sunt concurente.
(Mircea Fianu, București)