Anul 2009

Doctor Gil
Mesaje: 216
Membru din: Mar Iul 05, 2011 8:48 pm

Anul 2009

Mesaj de Doctor Gil »

CLASA A VII-A

$1.$ Considerăm $\triangle ABC$ și $\triangle A_1B_1C_1$ cu $AB=A_1B_1$, $m(\widehat{BAC})=m(\widehat{B_1A_1C_1})=60^\circ$ și $m(\widehat{ABC})+m(\widehat{A_1B_1C_1})=180^\circ$.
Să se arate că $\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{A_1C_1}=\dfrac{1}{AB}$.
(Maria Miheț, Timișoara)

$2.$ Un pătrat $5\times 5$ se împarte în pătrățele unitate. În fiecare din aceste pătrate se scrie câte un număr din intervalul $(0;1)$, a.î.:
$-$ suma numerelor de pe fiecare linie și de pe fiecare coloană este un număr natural;
$-$ suma celor $25$ de numere este egală cu $11$.
$a)$ Să se arate că cel puțin unul dintre numere este mai mare sau egal cu $\frac{3}{5}$.
$b)$ Dacă un singur număr dintre cele $25$ este mai mare decât $\frac{3}{5}$, să se arate că sumele numerelor de pe linia și coloana care îl conțin sunt egale.
(Mircea Fianu, București)

$3.$ $a)$ Fie $m,n\in \Bbb{N^*}$ cu $m>1$. Să se arate că numărul $m^4+4n^4$ nu este prim.
$b)$ Să se arate că numărul $3^{4^5}+4^{5^6}$ se descompune în produs de 2 factori, fiecare mai mare decât $10^{2009}$.
(Dorin Andrica, Cluj-Napoca)

$4.$ Fie $\triangle ABC$ ascuțitunghic și fie $D$ un punct în interiorul triunghiului a.î. $m(\widehat{ADB})-m(\widehat{ACB})=90^\circ$, iar $AC\cdot BD=AD\cdot BC$.
Să se calculeze $m(\widehat{DAC})$, $m(\widehat{DBC})$, precum și $\dfrac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}$.
(Olimpiadă Anglia)

CLASA A VIII-A

$1.$ Determinați $n\in \Bbb{N}$ ce satisfac simultan proprietățile:
$a)$ câtul împărțirii lui $n$ la $9$ este un număr natural format din 3 cifre egale.
$b)$ câtul împărțirii lui $n+36$ la $4$ este un număr natural format din cifrele $2,0,0,9$, nu neapărat în această ordine.
(Lucian Dragomir, Oțelu-Roșu)

$2.$ De o parte și de alta a planului $\triangle ABC$ se consideră punctele $S$ și $P$ a.î. $SA=SB=SC$ și $PA\perp PB\perp PC$.
Știind că $V_{PABC}=2V_{SABC}$, arătați că dreapta $SP$ trece prin centrul de greutate al $\triangle ABC$.
(Cristian Lazăr, Iași)

$3.$ Pentru $a,b,c\in \Bbb{R}$ notăm $x=|a|+|b|+|c|$ și $y=|a-2|+|b-2|+|c-2|$.
$a)$ Arătați că $x+y\ge 6$.
$b)$ Știind că $a,b,c\in [-1,3]$ și că $a+b+c=3$, arătați că $x+y\le 10$.
(Dan Marinescu, Hunedoara)

$4.$ Prin plane paralele la fețele sale, un cub se împarte în $27$ de paralelipipede dreptunghice, dintre care exact $2$ sunt cuburi.
Să se arate că cele $2$ cuburi au muchii de lungimi egale.
(Dinu Șerbănescu, București)
Scrie răspuns