Anul 2009

mircea.lascu
Mesaje: 350
Membru din: Lun Iul 12, 2010 9:02 pm

Anul 2009

Mesaj de mircea.lascu »

Clasa a 7-a:


1. Fie $m,n\in \Bbb{N}^*$ cu propietatea ca $5|2^n+3^m$. Sa se arate ca $5|2^m+3^n$.

2. Fie $\triangle{ABC}$ in care $M;N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$, iar $S\in (BC)$ un punct mobil. Sa se arate ca $(MB-MS)(NC-NS)\le 0$.

3. Fie $a,b\in \Bbb{N}$. Sa se arate ca numarul $a^2+b^2$ este diferenta a doua patrate perfecte daca si numai daca $ab$ este numar par.

4. Se considera $\triangle{ABC}$ echilateral. Punctele $M,N,P$ sunt situate pe laturile $AC,AB,BC$, respectiv, a.i. $\angle{CBM}=\dfrac{1}{2}\angle{AMN}=\dfrac{1}{3}\angle{BNP}$ si $m(\angle{CMP})=90^\circ$.
a) Sa se arate ca $\triangle{NMB}$ este isoscel.
b) Sa se determine $m(\angle{CBM})$.


Clasa a 8-a:

1. Sa se determine $x,y,z\in \Bbb{R}_+$ care verifica simultan egalitatile :
$x^2y^2+1=x^2+xy , \,\; y^2z^2+1=y^2+yz ,\,\; z^2x^2+1=z^2+xz$.

2. Numerele reale $a,b,c,d,e$ au propietatea ca $|a-b|=2|b-c|=3|c-d|=4|d-e|=5|e-a|$. Sa se arate ca numerele $a,b,c,d,e$ sunt egale.

3. Consideram prisma patrulatera regulata $ABCDA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$, in care $AB=a;AA^\prime =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, iar M este mijlocul muchiei $B^\prime C^\prime$. Fie F piciorul perpendicularei din B pe dreapta MC, Sa se determine masura unghiului dintre planele $(BDF)\,\; si \,\; (ABF)$.

4. Numerele naturale $a\,\; si \,\; b$ verifica relatia : $(a^2-9b^2)^2-33b=16\,\; (1)$.
a)Sa se arate ca $|a-3b|\ge 1$.
b)Sa se determine toate perechile de numere naturale $(a;b)$ care satisfac relatia (1).
Scrie răspuns