Anul 2010

[mircea.lascu]

Clasa a 7-a:


1.a) Descompuneti in factori expresia $xy-x-y+1$.
b)Demonstrati ca daca $a,b\in \Bbb{Z}$ verifica $|a+b|>|1+ab|$, atunci $ab=0$.

2. Fie $n\in \Bbb{N}\,\; n\ge 2$. Determinati restul impartirii numarului $n(n+1)(n+2)$ la $n-1$.
Gazeta Matematica

3. Se considera $\triangle{ABC}$ cu $AB=AC$ si $m(\angle{A})=40^\circ$. Punctele S si T se afla pe laturile AB, respectiv BC, astfel incat $m(\angle{BAT})=m(\angle{BCS})=10^\circ$. Dreptele AT si CS se intersecteza in punctul P. Demonstrati ca $BT=2PT$.
prof. Gabriel Popa

4. Consideram patrulaterul $ABCD$, cu $AD=CD=CB$ si $AB||CD$. Punctele E si F apartin segmentelor CD si CB astfel incat $\angle{ADE}\equiv\angle{AEF}$. Demonstrati ca :
a)$4CF\le CB$;
b)daca $4CF=CB$, atunci AE este bisectoarea unghiului $\angle{DAF}$.
prof. Claudiu Stefan Popa


Clasa a 8-a:

1.a) Aratati ca nu putem pune in varfurile unui cub 8 nr. distincte din multimea {0;1;2;...;12}, a.i. suma numerelor din oricare 2 varfuri unite printr-o muchie sa fie divizibila cu 2.
b)Aratai ca putem pune in varfurile unui cub 8 nr. distincte din multimea {0;1;2;...;12}, a.i. suma numerelor din oricare 2 varfuri unite printr-o muchie sa fie divizibila cu 3.
Gazeta Matematica

2. Fie $x,y\in \Bbb{N}^*$. Aratati ca numarul $\dfrac{(x+y)^2}{x^3+xy^2-x^2y-y^3}$ nu este intreg.

3. Se considera cubul $ABCDA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$. Bisectoarele unghiurilor $\angle{A^\prime C\prime A}$ si $\angle{A\prime AC\prime}$ intersecteza AA' si A'C in punctele P, respectiv S. Punctul M este piciorul perendicularei din din A' pe CP, iar N este piciorul perpendicularei din A' pe AS. Punctul O este centrul fetei $ABB^\prime A^\prime$.
a) Demonstrati ca planele $(MNO)$ si $(AC^\prime B)$ sunt paralele.
b) Calculati distanta dintre aceste plane, stiind ca $AB=1$.

4. Determinati perechile de numere naturale $(a;b)$ care verfica egalitatea :
$a+2b-b^2=\sqrt{2a+a^2+|2a+1-2b|}$.

[Michi Panaitescu]

Clasa a VII-a problema 1:
a)xy-x-y+1=(x-1)(y-1)
b)|a+b|>|ab+1|>0, deci ridicand la patrat avem $a^2$+$b^2$+2ab>$a^2b^2$+2ab+1.
Trecem totul in partea dreapta si avem: ($a^2$-1)($b^2$-1)<0.
Daca ab ar fi diferit de 0, atunci $a^2$ si $b^2$ $\ge$ 1(fiind intregi) si ($a^2$-1)($b^2$-1) este atunci pozitiv, deci avem contradictie.
Rezulta ab=0

[Michi Panaitescu]

Clasa a VII-a, problema 2

$n(n+1)(n+2)$=$(n-1+1)(n-1+2)(n-1+3)$=$(n-1)^3+6(n-1)^2+11(n-1)+6$.
Pentru n-1>6, restul este chiar 6; pentru n-1=6, 3, 2, 1 restul este 0, pentru n-1=4, r=2 si n-1=5, r=1

[Michi Panaitescu]

Clasa a VII-a, problema 3:

Din calcule de unghiuri obtinem ca masura lui APC este 90.
Deoarece $\angle$SAT$\equiv$$\angle$SCT avem ASTC inscriptibil, deci PST=30.
Rezulta ATS=60, CTP=90-10=80.
In triunghiul STB avem $\angle$TSB=$\angle$TBS=70 si STB=40.
Din teorema unghiului de 30 avem PT=ST/2=TB/2.

[Michi Panaitescu]

Clasa a VII-a, problema 4:

a) $\angle$DAE$\equiv$$\angle$CEF.
Cum trapezul ABCD este isoscel, avem Triunghiul ADE asemenea cu ECF(U.U.). Deci $\frac{AD}{EC}$=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{DE}{CF}$.
Rezulta AD*CF=EC*DE$\le$$\frac{1}{4}(EC+DE)^2$=$\frac{1}{4}CD^2$.
4CF$\le$CB.
b)In acest caz avem CE=DE, deci $\frac{AD}{ED}$=$\frac{AE}{EF}$, deci ADE asemenea cu AEF(L.U.L.).
Rezulta $\angle$DAE$\equiv$$\angle$EAF, q.e.d.