Probleme de minim si maxim
Scris: Vin Oct 14, 2011 10:05 pm
Set Probleme
Problema 1. Sa a se calculeze valoarea expresiei $\max\limits_{0\leq t\leq 1}\left \{\min\left \{\frac{2-t}{2}, \frac{t}{2-t} \right\} \right \}$.
A.M. Ostrovski
Problema 2. Sa se arate ca a pentru orice numere reale $a,b,c$ are
loc relatia
$\min\left \{\max\{a,b\},$ $\max\{b,c\},\max\{c,a\}\right\}=\max\left \{\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right \}$
Problema 3. Sa a se calculeze valoarea expresiei $\min\limits_{x}\left \{\max\left \{2|x|, |1+x| \right\} \right \}$.
H. Fatkic, B. Mesihovic
Problema 4. Sa se calculeze $\min\limits_{x,y,z\in \mathbb{R}}\left \{\max\left \{x^2+y+z,y^2+z+x,z^2+x+y \right\} \right \}$.
Se schimba valoarea expresiei precedente daca minimul se calculeaza adaugand conditia suplimentara $x+y+z=1?$
Problema 5. Sa se calculeze $\min\limits_{a,b,c\in \mathbb{R}}\left \{\max\left$$\{(a+b+c)^2-9bc,(a+b+c)^2-9ca,(a+b+c)^2-9ab \right\} \right \}.$
E.A. Jasinovi, 1996, Matematika v skole
Problema 6. Sa se calculeze valoarea expresiei $\max\limits_{x,y>0}\left \{\min\left \{x,y+\frac 1x,\frac 1y \right\} \right \}$.
Problema 7. Sa se calculeze valoarea expresiei $\min\limits_{x,y,z>0}\left \{\max\left \{x^2+\frac 1y,y^2+\frac 1z,z^2+\frac 1x \right\} \right \}$.
F. Zejnulahi, 1996
Problema 8. Numerele reale $a,b$ si $c$ sunt pozitive si $a+b+c=1$. Sa se determine valorile urmatoarelor expresii
a) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a-bc,b-ca,c-ab \right\} \right \}$;
b) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a+bc,b+ca,c+ab \right\} \right \}$.
Problema 9. Suma numerelor nenegative $a,b,c,d,e,f, g$ este $1$. Fie $s$ cea mai mare dintre sumele
$a+b+c$, $b+c+d$, $c+d+e$, $d+e+f$ si $e+f+g$. Sa se determine
cea mai mica valoare posibila a lui $s$.
Propus pentru OIM, 1981 (shortlist)
Problema 1. Sa a se calculeze valoarea expresiei $\max\limits_{0\leq t\leq 1}\left \{\min\left \{\frac{2-t}{2}, \frac{t}{2-t} \right\} \right \}$.
A.M. Ostrovski
Problema 2. Sa se arate ca a pentru orice numere reale $a,b,c$ are
loc relatia
$\min\left \{\max\{a,b\},$ $\max\{b,c\},\max\{c,a\}\right\}=\max\left \{\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right \}$
Problema 3. Sa a se calculeze valoarea expresiei $\min\limits_{x}\left \{\max\left \{2|x|, |1+x| \right\} \right \}$.
H. Fatkic, B. Mesihovic
Problema 4. Sa se calculeze $\min\limits_{x,y,z\in \mathbb{R}}\left \{\max\left \{x^2+y+z,y^2+z+x,z^2+x+y \right\} \right \}$.
Se schimba valoarea expresiei precedente daca minimul se calculeaza adaugand conditia suplimentara $x+y+z=1?$
Problema 5. Sa se calculeze $\min\limits_{a,b,c\in \mathbb{R}}\left \{\max\left$$\{(a+b+c)^2-9bc,(a+b+c)^2-9ca,(a+b+c)^2-9ab \right\} \right \}.$
E.A. Jasinovi, 1996, Matematika v skole
Problema 6. Sa se calculeze valoarea expresiei $\max\limits_{x,y>0}\left \{\min\left \{x,y+\frac 1x,\frac 1y \right\} \right \}$.
Problema 7. Sa se calculeze valoarea expresiei $\min\limits_{x,y,z>0}\left \{\max\left \{x^2+\frac 1y,y^2+\frac 1z,z^2+\frac 1x \right\} \right \}$.
F. Zejnulahi, 1996
Problema 8. Numerele reale $a,b$ si $c$ sunt pozitive si $a+b+c=1$. Sa se determine valorile urmatoarelor expresii
a) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a-bc,b-ca,c-ab \right\} \right \}$;
b) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a+bc,b+ca,c+ab \right\} \right \}$.
Problema 9. Suma numerelor nenegative $a,b,c,d,e,f, g$ este $1$. Fie $s$ cea mai mare dintre sumele
$a+b+c$, $b+c+d$, $c+d+e$, $d+e+f$ si $e+f+g$. Sa se determine
cea mai mica valoare posibila a lui $s$.
Propus pentru OIM, 1981 (shortlist)