Probleme de minim si maxim

Probleme de minim si maxim

Mesajde Doctor Gil » Vin Oct 14, 2011 10:05 pm

Set Probleme
Problema 1. Sa a se calculeze valoarea expresiei \max\limits_{0\leq t\leq 1}\left \{\min\left \{\frac{2-t}{2}, \frac{t}{2-t} \right\} \right \}.
A.M. Ostrovski

Problema 2. Sa se arate ca a pentru orice numere reale a,b,c are
loc relatia
\min\left \{\max\{a,b\}, \max\{b,c\},\max\{c,a\}\right\}=\max\left \{\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right \}

Problema 3. Sa a se calculeze valoarea expresiei \min\limits_{x}\left \{\max\left \{2|x|, |1+x| \right\} \right \}.
H. Fatkic, B. Mesihovic

Problema 4. Sa se calculeze \min\limits_{x,y,z\in \mathbb{R}}\left \{\max\left \{x^2+y+z,y^2+z+x,z^2+x+y \right\} \right \}.
Se schimba valoarea expresiei precedente daca minimul se calculeaza adaugand conditia suplimentara x+y+z=1?

Problema 5. Sa se calculeze \min\limits_{a,b,c\in \mathbb{R}}\left \{\max\left\{(a+b+c)^2-9bc,(a+b+c)^2-9ca,(a+b+c)^2-9ab \right\} \right \}.
E.A. Jasinovi, 1996, Matematika v skole

Problema 6. Sa se calculeze valoarea expresiei \max\limits_{x,y>0}\left \{\min\left \{x,y+\frac 1x,\frac 1y \right\} \right \}.

Problema 7. Sa se calculeze valoarea expresiei \min\limits_{x,y,z>0}\left \{\max\left \{x^2+\frac 1y,y^2+\frac 1z,z^2+\frac 1x \right\} \right \}.
F. Zejnulahi, 1996

Problema 8. Numerele reale a,b si c sunt pozitive si a+b+c=1. Sa se determine valorile urmatoarelor expresii
a) \min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a-bc,b-ca,c-ab \right\} \right \};
b) \min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a+bc,b+ca,c+ab \right\} \right \}.

Problema 9. Suma numerelor nenegative a,b,c,d,e,f, g este 1. Fie s cea mai mare dintre sumele
a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f si e+f+g. Sa se determine
cea mai mica valoare posibila a lui s.
Propus pentru OIM, 1981 (shortlist)
Doctor Gil
 
Mesaje: 216
Membru din: Mar Iul 05, 2011 8:48 pm

Re: Probleme de minim si maxim

Mesajde BocanuMarius » Sâm Oct 15, 2011 4:44 pm

Doctor Gil scrie:Set Probleme
Problema 1. Sa a se calculeze valoarea expresiei \max\limits_{0\leq t\leq 1}\left \{\min\left \{\frac{2-t}{2}, \frac{t}{2-t} \right\} \right \}.
A.M. Ostrovski

Prima oara, egalam cele 2 expresii, \frac{2-t}{2}=\frac{t}{2-t}, care este echivalenta cu t^2-6t+4=0 cu solutiile t=3+\sqrt{5}, t=3-\sqrt{5}, insa doar a doua valoare corespunde intervalului [0,1], in aceasta atingandu-se \frac{\sqrt{5}-1}{2}. Presupunem ca ar exista un maxim mai mare, care se atinge pentru T. Avem succesiv din \frac{2-T}{T}>\frac{\sqrt{5}-1}{2} ca T<3-\sqrt{5}, iar din \frac{T}{2-T}>\frac{\sqrt{5}-1}{2} avem caT>3-\sqrt{5}, insa uitandu-ne la ultimele 2 relatii vedem ca acest lucru este imposibil, deci valoarea ceruta este \frac{\sqrt{5}-1}{2}
Exista lucruri care stim ca sunt imposibil de realizat, pana vine cineva care nu stie acest lucru si le realizeaza.
BocanuMarius
 
Mesaje: 365
Membru din: Vin Dec 17, 2010 8:44 am

Re: Probleme de minim si maxim

Mesajde BocanuMarius » Sâm Oct 15, 2011 4:47 pm

Doctor Gil scrie:Set Probleme


Problema 2. Sa se arate ca a pentru orice numere reale a,b,c are
loc relatia
\min\left \{\max\{a,b\}, \max\{b,c\},\max\{c,a\}\right\}=\max\left \{\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right \}



Cum, egalitatea este simetrica in a,b,c putem presupune a \ge b \ge c. LHS=\min\{a,b,a\}=b, RHS=\max\{b,c,b\}=b, ceea ce trebuia demonstrat.
Exista lucruri care stim ca sunt imposibil de realizat, pana vine cineva care nu stie acest lucru si le realizeaza.
BocanuMarius
 
Mesaje: 365
Membru din: Vin Dec 17, 2010 8:44 am


Înapoi la Teme pentru cercurile de elevi

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron