Probleme de minim si maxim

[Doctor Gil]

Set Probleme
Problema 1. Sa a se calculeze valoarea expresiei $\max\limits_{0\leq t\leq 1}\left \{\min\left \{\frac{2-t}{2}, \frac{t}{2-t} \right\} \right \}$.
A.M. Ostrovski

Problema 2. Sa se arate ca a pentru orice numere reale $a,b,c$ are
loc relatia
$\min\left \{\max\{a,b\},$ $\max\{b,c\},\max\{c,a\}\right\}=\max\left \{\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right \}$

Problema 3. Sa a se calculeze valoarea expresiei $\min\limits_{x}\left \{\max\left \{2|x|, |1+x| \right\} \right \}$.
H. Fatkic, B. Mesihovic

Problema 4. Sa se calculeze $\min\limits_{x,y,z\in \mathbb{R}}\left \{\max\left \{x^2+y+z,y^2+z+x,z^2+x+y \right\} \right \}$.
Se schimba valoarea expresiei precedente daca minimul se calculeaza adaugand conditia suplimentara $x+y+z=1?$

Problema 5. Sa se calculeze $\min\limits_{a,b,c\in \mathbb{R}}\left \{\max\left$$\{(a+b+c)^2-9bc,(a+b+c)^2-9ca,(a+b+c)^2-9ab \right\} \right \}.$
E.A. Jasinovi, 1996, Matematika v skole

Problema 6. Sa se calculeze valoarea expresiei $\max\limits_{x,y>0}\left \{\min\left \{x,y+\frac 1x,\frac 1y \right\} \right \}$.

Problema 7. Sa se calculeze valoarea expresiei $\min\limits_{x,y,z>0}\left \{\max\left \{x^2+\frac 1y,y^2+\frac 1z,z^2+\frac 1x \right\} \right \}$.
F. Zejnulahi, 1996

Problema 8. Numerele reale $a,b$ si $c$ sunt pozitive si $a+b+c=1$. Sa se determine valorile urmatoarelor expresii
a) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a-bc,b-ca,c-ab \right\} \right \}$;
b) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a+bc,b+ca,c+ab \right\} \right \}$.

Problema 9. Suma numerelor nenegative $a,b,c,d,e,f, g$ este $1$. Fie $s$ cea mai mare dintre sumele
$a+b+c$, $b+c+d$, $c+d+e$, $d+e+f$ si $e+f+g$. Sa se determine
cea mai mica valoare posibila a lui $s$.
Propus pentru OIM, 1981 (shortlist)

[BocanuMarius]

Set Probleme
Problema 1. Sa a se calculeze valoarea expresiei $\max\limits_{0\leq t\leq 1}\left \{\min\left \{\frac{2-t}{2}, \frac{t}{2-t} \right\} \right \}$.
A.M. Ostrovski

Prima oara, egalam cele 2 expresii, $\frac{2-t}{2}=\frac{t}{2-t}$, care este echivalenta cu $t^2-6t+4=0$ cu solutiile $t=3+\sqrt{5}, t=3-\sqrt{5}$, insa doar a doua valoare corespunde intervalului $[0,1]$, in aceasta atingandu-se $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Presupunem ca ar exista un maxim mai mare, care se atinge pentru T. Avem succesiv din $\frac{2-T}{T}>\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ca $T<3-\sqrt{5}$, iar din $\frac{T}{2-T}>\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ avem ca$T>3-\sqrt{5}$, insa uitandu-ne la ultimele 2 relatii vedem ca acest lucru este imposibil, deci valoarea ceruta este $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

[BocanuMarius]

Set Probleme


Problema 2. Sa se arate ca a pentru orice numere reale $a,b,c$ are
loc relatia
$\min\left \{\max\{a,b\},$ $\max\{b,c\},\max\{c,a\}\right\}=\max\left \{\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right \}$

Cum, egalitatea este simetrica in $a,b,c$ putem presupune $a \ge b \ge c$. $LHS=\min\{a,b,a\}=b, RHS=\max\{b,c,b\}=b$, ceea ce trebuia demonstrat.