Principiul cutiei, clasele 7-8-9
Scris: Vin Oct 14, 2011 7:51 pm
Set probleme
Problema 1. Demonstrati ca dintre $n$ numere intregi putem alege unele a caror suma sa fie divizibila cu $n$.
Problema 2. Demonstrati ca dintre $n+1$ numere naturale distincte mai mici decat $2n$ putem alege $3$ astfel incat unul este egal cu suma celorlalte $2$.
Problema 3. Demonstrati ca dintre $n$ numere naturale distincte mai mici decat $2n$ putem alege unul egal cu $n$ sau doua cu suma $2n$.
Problema 4. Demonstrati ca $\forall a=2k+1$, $k \in \mathbb{N}$, exista $b \in \mathbb{N}$ astfel incat $2^{b}-1 \vdots a$.
Problema 5. Demonstrati ca oricum am alege $5$ numere intregi, putem alege doua care au suma sau diferenta divizibila cu $7$.
Problema 6. Demonstrati ca oricum am alege $7$ patrate perfecte diferite, se pot alege $2$ care au diferenta divizibila cu $10$.
Problema 7. Demonstrati ca oricare ar fi $1000$ de puncte intr-un disc de raza $1$, exista un disc de raza $\frac{1}{9}$ ce acopera cel putin $11$ puncte.
Problema 8. Demonstrati ca in orice poligon convex cu $21$ laturi exista doua diagonale ce formeaza un unghi mai mic de $1^{o}$.
Problema 9. Pe suprafata unui poligon cu aria $13$ asezam $10$ poligoane de arie $6$. Demonstrati ca exista $4$ poligoane ce se intersecteaza dupa o arie mai mare de $\frac{1}{70}$.
Problema 10. In interiorul unui patrat de latura $1$ asezam cateva cercuri ce au suma lungimilor egala cu $10$. Demonstrati ca exista o dreapta care intersecteaza cel putin $4$ cercuri.
Problema 11. Fie $M=\left{1, 2, ..., 2003 \right}$ demonstrati ca pentru orice $X \subset M$, cu $|X|=15$, exista $A, B \subset X$ astfel incat $\sum\limits_{a \in A} a = \sum\limits_{b \in B} b$.
Problema 12. Demonstrati ca oricum asezam $n^{2}+1$ puncte in interiorul unui triunghi echilateral de latura $1$, exista $2$ puncte intre care distata dintre ele este cel mult $\frac{1}{n}$.
Problema 13. Determinati numarul maxim de numere rationale pozitive diferite cu proprietatea ca dintre oricare $7$ putem alege doua cu produsul $1$.
Problema 14. Demonstrati ca daca printr-un punct din interiorul unui poligon regulat cu $2n$ laturi trec $n$ diagonale, atunci acel punct este centrul poligonului.
Problema 15. Demonstrati ca dintre $1331$ puncte din interiorul unui cub de muchie $1$, exista $5$ intr-o sfera de raza $\frac{1}{9}$.
Problema 16. Intr-un cub de muchie $1$ avem $n$ sfere cu suma ariilor egala cu $32$. Demonstrati ca exista o dreapta ce intersecteaza macar $9$ sfere.
Problema 17. a) Cate numere naturale mai mici sau egale cu $2011$ exista, divizibile cu $2$, $3$ sau $5$?
b) Cate numere prime mai mici decat $2011$ exista?
Problema 18. Cate moduri de a aseza $n$ persoane in linie exista? Dar in cerc?
Problema 19. In cate moduri putem imparti $2n$ persoane in $n$ perechi?
Problema 20. In cate moduri putem pava un dreptunghi $2$ x $n$ cu placi $1$ x $2$?
Bibliografie: Matematică Gimnazială dincolo de manual, Autori: A. Ghioca, L. Cojocaru, editura GIL
Probleme de matematica, strategii de rezolvare, Autor: Arthur Engel, traducere: Mihai Baluna, editura GIL
Problema 1. Demonstrati ca dintre $n$ numere intregi putem alege unele a caror suma sa fie divizibila cu $n$.
Problema 2. Demonstrati ca dintre $n+1$ numere naturale distincte mai mici decat $2n$ putem alege $3$ astfel incat unul este egal cu suma celorlalte $2$.
Problema 3. Demonstrati ca dintre $n$ numere naturale distincte mai mici decat $2n$ putem alege unul egal cu $n$ sau doua cu suma $2n$.
Problema 4. Demonstrati ca $\forall a=2k+1$, $k \in \mathbb{N}$, exista $b \in \mathbb{N}$ astfel incat $2^{b}-1 \vdots a$.
Problema 5. Demonstrati ca oricum am alege $5$ numere intregi, putem alege doua care au suma sau diferenta divizibila cu $7$.
Problema 6. Demonstrati ca oricum am alege $7$ patrate perfecte diferite, se pot alege $2$ care au diferenta divizibila cu $10$.
Problema 7. Demonstrati ca oricare ar fi $1000$ de puncte intr-un disc de raza $1$, exista un disc de raza $\frac{1}{9}$ ce acopera cel putin $11$ puncte.
Problema 8. Demonstrati ca in orice poligon convex cu $21$ laturi exista doua diagonale ce formeaza un unghi mai mic de $1^{o}$.
Problema 9. Pe suprafata unui poligon cu aria $13$ asezam $10$ poligoane de arie $6$. Demonstrati ca exista $4$ poligoane ce se intersecteaza dupa o arie mai mare de $\frac{1}{70}$.
Problema 10. In interiorul unui patrat de latura $1$ asezam cateva cercuri ce au suma lungimilor egala cu $10$. Demonstrati ca exista o dreapta care intersecteaza cel putin $4$ cercuri.
Problema 11. Fie $M=\left{1, 2, ..., 2003 \right}$ demonstrati ca pentru orice $X \subset M$, cu $|X|=15$, exista $A, B \subset X$ astfel incat $\sum\limits_{a \in A} a = \sum\limits_{b \in B} b$.
Problema 12. Demonstrati ca oricum asezam $n^{2}+1$ puncte in interiorul unui triunghi echilateral de latura $1$, exista $2$ puncte intre care distata dintre ele este cel mult $\frac{1}{n}$.
Problema 13. Determinati numarul maxim de numere rationale pozitive diferite cu proprietatea ca dintre oricare $7$ putem alege doua cu produsul $1$.
Problema 14. Demonstrati ca daca printr-un punct din interiorul unui poligon regulat cu $2n$ laturi trec $n$ diagonale, atunci acel punct este centrul poligonului.
Problema 15. Demonstrati ca dintre $1331$ puncte din interiorul unui cub de muchie $1$, exista $5$ intr-o sfera de raza $\frac{1}{9}$.
Problema 16. Intr-un cub de muchie $1$ avem $n$ sfere cu suma ariilor egala cu $32$. Demonstrati ca exista o dreapta ce intersecteaza macar $9$ sfere.
Problema 17. a) Cate numere naturale mai mici sau egale cu $2011$ exista, divizibile cu $2$, $3$ sau $5$?
b) Cate numere prime mai mici decat $2011$ exista?
Problema 18. Cate moduri de a aseza $n$ persoane in linie exista? Dar in cerc?
Problema 19. In cate moduri putem imparti $2n$ persoane in $n$ perechi?
Problema 20. In cate moduri putem pava un dreptunghi $2$ x $n$ cu placi $1$ x $2$?
Bibliografie: Matematică Gimnazială dincolo de manual, Autori: A. Ghioca, L. Cojocaru, editura GIL
Probleme de matematica, strategii de rezolvare, Autor: Arthur Engel, traducere: Mihai Baluna, editura GIL