Pagina 1 din 1

Principiul cutiei, clasele 7-8-9

MesajScris: Vin Oct 14, 2011 7:51 pm
de Doctor Gil
Set probleme
Problema 1. Demonstrati ca dintre n numere intregi putem alege unele a caror suma sa fie divizibila cu n.
Problema 2. Demonstrati ca dintre n+1 numere naturale distincte mai mici decat 2n putem alege 3 astfel incat unul este egal cu suma celorlalte 2.
Problema 3. Demonstrati ca dintre n numere naturale distincte mai mici decat 2n putem alege unul egal cu n sau doua cu suma 2n.
Problema 4. Demonstrati ca \forall a=2k+1, k \in \mathbb{N}, exista b \in \mathbb{N} astfel incat 2^{b}-1 \vdots a.
Problema 5. Demonstrati ca oricum am alege 5 numere intregi, putem alege doua care au suma sau diferenta divizibila cu 7.
Problema 6. Demonstrati ca oricum am alege 7 patrate perfecte diferite, se pot alege 2 care au diferenta divizibila cu 10.
Problema 7. Demonstrati ca oricare ar fi 1000 de puncte intr-un disc de raza 1, exista un disc de raza \frac{1}{9} ce acopera cel putin 11 puncte.
Problema 8. Demonstrati ca in orice poligon convex cu 21 laturi exista doua diagonale ce formeaza un unghi mai mic de 1^{o}.
Problema 9. Pe suprafata unui poligon cu aria 13 asezam 10 poligoane de arie 6. Demonstrati ca exista 4 poligoane ce se intersecteaza dupa o arie mai mare de \frac{1}{70}.
Problema 10. In interiorul unui patrat de latura 1 asezam cateva cercuri ce au suma lungimilor egala cu 10. Demonstrati ca exista o dreapta care intersecteaza cel putin 4 cercuri.
Problema 11. Fie M=\left{1, 2, ..., 2003 \right} demonstrati ca pentru orice X \subset M, cu |X|=15, exista A, B \subset X astfel incat \sum\limits_{a \in A} a = \sum\limits_{b \in B} b.
Problema 12. Demonstrati ca oricum asezam n^{2}+1 puncte in interiorul unui triunghi echilateral de latura 1, exista 2 puncte intre care distata dintre ele este cel mult \frac{1}{n}.
Problema 13. Determinati numarul maxim de numere rationale pozitive diferite cu proprietatea ca dintre oricare 7 putem alege doua cu produsul 1.
Problema 14. Demonstrati ca daca printr-un punct din interiorul unui poligon regulat cu 2n laturi trec n diagonale, atunci acel punct este centrul poligonului.
Problema 15. Demonstrati ca dintre 1331 puncte din interiorul unui cub de muchie 1, exista 5 intr-o sfera de raza \frac{1}{9}.
Problema 16. Intr-un cub de muchie 1 avem n sfere cu suma ariilor egala cu 32. Demonstrati ca exista o dreapta ce intersecteaza macar 9 sfere.
Problema 17. a) Cate numere naturale mai mici sau egale cu 2011 exista, divizibile cu 2, 3 sau 5?
b) Cate numere prime mai mici decat 2011 exista?
Problema 18. Cate moduri de a aseza n persoane in linie exista? Dar in cerc?
Problema 19. In cate moduri putem imparti 2n persoane in n perechi?
Problema 20. In cate moduri putem pava un dreptunghi 2 x n cu placi 1 x 2?

Bibliografie: Matematică Gimnazială dincolo de manual, Autori: A. Ghioca, L. Cojocaru, editura GIL
Probleme de matematica, strategii de rezolvare, Autor: Arthur Engel, traducere: Mihai Baluna, editura GIL

Re: Principiul cutiei, clasele 7-8-9

MesajScris: Dum Oct 30, 2011 11:50 am
de math_mat
Problema 1

Consderam numerele k1,k1+k2,...,k1+k2+...+kn.

Daca unul este divizibil cu n,problema este rezolvata.
Daca nu,vom avea n resturi din multimea {1,2,...,n-1}.Din principiul cutiei,exista cel putin 2 numere congruente modulo n.Scazand aceste 2 numere,obtinem ca o suma de cateva numere este divizibila cu n.

Re: Principiul cutiei, clasele 7-8-9

MesajScris: Dum Oct 30, 2011 11:55 am
de seby
Obs:un caz particular al acestei probleme (adica n=2011) este la etapa 1 VO si GM clasa a 7a

Re: Principiul cutiei, clasele 7-8-9

MesajScris: Mie Noi 30, 2011 12:04 am
de TheodorMunteanu
De asemenea aici e un suport teoretic si cateva probleme de geometrie combinatorica.

Re: Principiul cutiei, clasele 7-8-9

MesajScris: Lun Dec 03, 2012 6:43 pm
de mihai miculita
Problema 21:
Fiind date 9 numere din intervalul (2;24) , arătaţi că există printre ele 3 numere, care sunt lungimile laturilor unui triunghi.

Re: Principiul cutiei, clasele 7-8-9

MesajScris: Sâm Ian 12, 2013 1:11 pm
de Doru Damian
Problema 21:
Partitonam intervalul in 4 intervale, astfel:(2;24)=(2;4]\cup (4;8]\cup (8;16]\cup (16;24). Deoarece avem 4 intervale, si 9 numere, rezulta din Principiul Cutiei ca vom avea cel putin 3 numere in acelasi interval. Dar se observa usor ca in oricare dintre aceste intervale s-ar afla numerele, suma oricaror 2 este strict mai mare decat al treilea, deci se poate construi un triunghi cu lungimile laturilor cele 3 numere.

Re: PROBLEMA 6.

MesajScris: Dum Ian 12, 2014 1:32 pm
de pop sever
Solutia problemei 6 se gaseste in fisierul atasat .