Tabara MathTime, ziua IV-Combinatorica-Marcel Teleuca

[Mr. Ady]

Curs sustinut de domnul profesor Marcel Teleuca

Problema 1. Pe o tabla se afla numarul . La fiecare minut, se sterge numarul si in locul acestuia se scrie cel format din insumarea produsului cifrelor numarului anterior cu . Care va fi numarul scris pe tabla dupa o ora?

Problema 2. Fie o tabela x cu cate un numar in fiecare patratel. Se stie ca in fiecare rand sunt cel putin numere diferite, iar in fiecare randuri nu sunt mai mult de numere diferite. Sa se demonstreze ca in tabela nu sunt mai mult de numere diferite.

Problema 3. Fie o multime finita de numere reale astfel incat pentru oricare numere din multime sa existe a caror suma . Care este numarul maxim de elemente?

Problema 4. Exista de drepte in plan care au exact de puncte de intersectie?

[Nicolae.sapoval]

Problema 5. Toate patratelele unei table sunt colorate alb. Doi jucatori coloreaza pe rand cate un patratel alb in negru. Pierde jucatorul dupa miscarea caruia pe tabla nu mai exista doua patratele vecine (dupa latura) albe. Cine cistiga, daca ambii joc corect?

Problema 6. Intr-un turneu participa echipe. Fiecare echipa joaca exact o data cu fiecare alta echipa. Se stie ca pentru oricare echipe si , numarul de echipe care au pierdut si de la si de la este exact . Demonstrati ca .

Problema 7. In patratelele unei table se afla plusuri si minusuri. Se permite selectarea a patratele, astfel incat oricare sa nu se afle in aceeasi linie sau coloana si sa se schimbe semnul in aceste patratele. Demonstrati ca cu ajutorul acestor operatii putem sa obtinem cel mult plusuri.