Tabara MathTime, ziua II-Combinatorica-Marcel Teleuca
Scris: Mie Oct 12, 2011 9:21 pm
Curs sustinut de domn profesor Marcel Teleuca
Problema 1. Pe o tabla, se dau numerele naturale de la $$1$$ la $$2011$$. In locul oricaror $$2$$ numere a si b, unde a si b sunt numere de pe tabla, se scrie numarul a$$+$$b$$+$$a$\cdot$b. Care este ultimul numar ramas pe tabla? Aceeasi problema daca in locul numerelor a si b se pune numarul $-$a$$-$$b$$+$$a$\cdot$b.
Problema 2. Se dau $$n$$ cercuri in plan astfel incat oricare $$3$$ sa se intersecteze. Sa se demonstreze ca toate cercurile au un punct comun de intersectie.
Problema 3. Se dau $$n$$ multimi convexe $A_1$,..$A_n$ astfel incat oricare $$3$$ sa aiba intersectia nevida. Sa se demonstreze ca toate multimile au o intersectie comuna.
Problema 4. Se da o tabla de sah $$8$$x$$8$$ alb-negru.Se iau centrele fiecarui patratel, iar prin acestea se traseaza o linie franta inchisa fara intersectii. Sa se arate ca in poligonul obtinut, suma portiunilor negre este egala cu cea a portiunilor albe.
Problema 5. Se dau $$2011$$ numere naturale pe o tabla astfel incat suma oricaror $$2$$ distincte sa fie un numar de pe tabla. Care este numarul minim de zerouri dintre acestea?
Problema 6. Se da un tabel $$100$$x$$100$$, iar in unele patratele avem cate o fisa. Un patratel este numit "frumos" daca are un numar par de vecini (dupa latura) cu fisa. Se poate ca un singur patratel sa fie frumos?
Problema 1. Pe o tabla, se dau numerele naturale de la $$1$$ la $$2011$$. In locul oricaror $$2$$ numere a si b, unde a si b sunt numere de pe tabla, se scrie numarul a$$+$$b$$+$$a$\cdot$b. Care este ultimul numar ramas pe tabla? Aceeasi problema daca in locul numerelor a si b se pune numarul $-$a$$-$$b$$+$$a$\cdot$b.
Problema 2. Se dau $$n$$ cercuri in plan astfel incat oricare $$3$$ sa se intersecteze. Sa se demonstreze ca toate cercurile au un punct comun de intersectie.
Problema 3. Se dau $$n$$ multimi convexe $A_1$,..$A_n$ astfel incat oricare $$3$$ sa aiba intersectia nevida. Sa se demonstreze ca toate multimile au o intersectie comuna.
Problema 4. Se da o tabla de sah $$8$$x$$8$$ alb-negru.Se iau centrele fiecarui patratel, iar prin acestea se traseaza o linie franta inchisa fara intersectii. Sa se arate ca in poligonul obtinut, suma portiunilor negre este egala cu cea a portiunilor albe.
Problema 5. Se dau $$2011$$ numere naturale pe o tabla astfel incat suma oricaror $$2$$ distincte sa fie un numar de pe tabla. Care este numarul minim de zerouri dintre acestea?
Problema 6. Se da un tabel $$100$$x$$100$$, iar in unele patratele avem cate o fisa. Un patratel este numit "frumos" daca are un numar par de vecini (dupa latura) cu fisa. Se poate ca un singur patratel sa fie frumos?