MathTime

Curs susținut de domn profesor Flavian Georgescu.

Problema 1 Rezolvați în numere prime ecuația: .

Problema 2 Rezolvați în ecuația: .

Problema 3 Rezolvați în ecuația: .

Problema 4 Rezolvați în ecuația: .

Problema 5 Rezolvați în ecuația: .

Problema 6 Rezolvați în ecuația: .

Problema 7 Rezolvați în numere impare ecuația: .

Eventualele soluții se vor pune la link-urile corespunzătoare.

2) Pentru y<0 x nu are cum sa fie intreg
Daca y>2 rezulta ca 2^y se divide cu 8 si ar rezulta ca x^2 trebuie sa dea restul 5 la impartirea cu 8 ceea c e nu se poate.
Deci y poate lua valorile 0;1;2
Se verifica pentru fiecare caz daca exista solutii si ce solutii exista

4)Daca n<0 rezulta ca x nu este intreg.
Deci n este natural
Din considerente legate de modulo 4 , n trebuie sa fie par.
Deci n=2m
Avem ca 3^(2m)-x^2=5 adica
(3^m-x)(3^m+x)=5.......

La subpunctul adunam si rezulta care e echivalenta cu si x e impar.Numarul e de forma care are un divizor prim de forma .Ne rezulta .

La subpunctul luam ecuatia modulo si presupunem ca numerele sunt de unde ne iese contradictia si avem solutia .La subpunctul ne iese ,dupa care luam ecuatia si ne iese si . si si si .Ne va rezulta ca unica solutie e .

5) Cum si deducem ca par. Fie . Avem:

Consideram , cu . Prin adunare:
. Inlocuind avem:
.(de unde )
Ultima cifra a lui este si deci ultima cifra a lui este . Fie . Avem:

Pt. avem de unde si .
Pt. cum de unde impar . Fie .
implosibil!

Singura solutie este

La subpunctul 5 avem si solutia separata si din .


"Ca iata adevarul ai iubit cele nearatate si cele ascunse ale intelepciunii Tale mi-ai aratat" - Psalmul 50
"Hristos ne iubeste pe toti,dragii mei" - Parintele Porfirie

Problema 7: Ecuatia se mai scrie ca x^n+2^n=y^2+2^n-1...si totul se cam termina aici,deoarece membrul stang este de forma 4m+3,care nu poate divide membrul drept