Pagina 1 din 1

Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gica

MesajScris: Lun Sep 05, 2011 8:11 pm
de Mr. Ady
Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Demonstrati ca 160!+1\neq x^2.

Problema 2. ** Aratati ca numarul 2^n+3^m nu este niciodata divizibil cu 167, \forall n,m\in\Bbb{N}.

Problema 3. *** Fie p prim \ge5,de forma 3k+2 si multimea s=\{y^2-x^3-1/0\le x,y \le p-1\}.Sa se arate ca cel mult p-1 elemente din s sunt divizibile cu p.

Problema 4. *** Sa se gaseasca cel mai mic y\in\Bbb{N} nenul, astfel incat \exists a,b\in\Bbb{N} nenule care satisfac proprietatea : 15a+16b=x^2 si 16a-15b=y^2.

Problema 5. * Aflati k\in\Bbb{N} astfel incat \dfrac{3n^2+1}{k^4-k^2-1}\in\Bbb{Z}.

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gi

MesajScris: Mie Sep 07, 2011 10:18 pm
de Calota Dragos
2.Presupunem prin reducere la absurd ca exista m,n \in\Bbb{N} astfel incat 167|2^n+3^m\implies 2^n\equiv -3^m(167).Avem:\dbinom{2}{167}^n=1^n=1.Procedand analog pentru -3^m obtinem 1=-1(Contradictie)

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gi

MesajScris: Joi Sep 08, 2011 5:38 am
de Bogdan Stanoiu
Mr. Ady scrie:Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Demonstrati ca 160!+1\neq x^2.

Problema 2. ** Aratati ca numarul 2^n+3^m nu este niciodata divizibil cu 167, \forall n,m\in\Bbb{N}.

Problema 3. *** Fie p prim \ge5,de forma 3k+2 si multimea s=\{y^2-x^3-1/0\le x,y \le p-1\}.Sa se arate ca cel mult p-1 elemente din s sunt divizibile cu p.

Problema 4. *** Sa se gaseasca cel mai mic y\in\Bbb{N} nenul, astfel incat \exists a,b\in\Bbb{N} nenule care satisfac proprietatea : 15a+16b=x^2 si 16a-15b=y^2.

Problema 5. * Aflati k\in\Bbb{N} astfel incat \dfrac{3n^2+1}{k^4-k^2-1}\in\Bbb{Z}.

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective

1) Se arata, folosind Teorema lui Wilson ca restul impartirii lui 160!+1 la 163 nu este rest ptratic.
3) Deoarece 3 este prim cu p-1 rezulta ca daca a^3=b^3(mod p) atunci a=b modulo p
Deci pentru un y fixat exista un unic x astfel incat y^2-x^3-1 se divide cu p
.....