Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gica

Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gica

Mesajde Mr. Ady » Lun Sep 05, 2011 8:11 pm

Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Demonstrati ca 160!+1\neq x^2.

Problema 2. ** Aratati ca numarul 2^n+3^m nu este niciodata divizibil cu 167, \forall n,m\in\Bbb{N}.

Problema 3. *** Fie p prim \ge5,de forma 3k+2 si multimea s=\{y^2-x^3-1/0\le x,y \le p-1\}.Sa se arate ca cel mult p-1 elemente din s sunt divizibile cu p.

Problema 4. *** Sa se gaseasca cel mai mic y\in\Bbb{N} nenul, astfel incat \exists a,b\in\Bbb{N} nenule care satisfac proprietatea : 15a+16b=x^2 si 16a-15b=y^2.

Problema 5. * Aflati k\in\Bbb{N} astfel incat \dfrac{3n^2+1}{k^4-k^2-1}\in\Bbb{Z}.

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Avatar utilizator
Mr. Ady
 
Mesaje: 307
Membru din: Mie Dec 08, 2010 10:55 pm
Localitate: Targoviste

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gi

Mesajde Calota Dragos » Mie Sep 07, 2011 10:18 pm

2.Presupunem prin reducere la absurd ca exista m,n \in\Bbb{N} astfel incat 167|2^n+3^m\implies 2^n\equiv -3^m(167).Avem:\dbinom{2}{167}^n=1^n=1.Procedand analog pentru -3^m obtinem 1=-1(Contradictie)
Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
Calota Dragos
 
Mesaje: 94
Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
Localitate: Craiova

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gi

Mesajde Bogdan Stanoiu » Joi Sep 08, 2011 5:38 am

Mr. Ady scrie:Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Demonstrati ca 160!+1\neq x^2.

Problema 2. ** Aratati ca numarul 2^n+3^m nu este niciodata divizibil cu 167, \forall n,m\in\Bbb{N}.

Problema 3. *** Fie p prim \ge5,de forma 3k+2 si multimea s=\{y^2-x^3-1/0\le x,y \le p-1\}.Sa se arate ca cel mult p-1 elemente din s sunt divizibile cu p.

Problema 4. *** Sa se gaseasca cel mai mic y\in\Bbb{N} nenul, astfel incat \exists a,b\in\Bbb{N} nenule care satisfac proprietatea : 15a+16b=x^2 si 16a-15b=y^2.

Problema 5. * Aflati k\in\Bbb{N} astfel incat \dfrac{3n^2+1}{k^4-k^2-1}\in\Bbb{Z}.

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective

1) Se arata, folosind Teorema lui Wilson ca restul impartirii lui 160!+1 la 163 nu este rest ptratic.
3) Deoarece 3 este prim cu p-1 rezulta ca daca a^3=b^3(mod p) atunci a=b modulo p
Deci pentru un y fixat exista un unic x astfel incat y^2-x^3-1 se divide cu p
.....
Bogdan Stanoiu
 
Mesaje: 106
Membru din: Mie Iul 27, 2011 4:59 am


Înapoi la Tabara MathTime

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron