Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gica

Avatar utilizator
Mr. Ady
Mesaje: 307
Membru din: Mie Dec 08, 2010 10:55 pm
Localitate: Targoviste

Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gica

Mesaj de Mr. Ady »

Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Demonstrati ca $160!+1\neq x^2$.

Problema 2. ** Aratati ca numarul $2^n+3^m$ nu este niciodata divizibil cu $167$, $\forall$ $n,m\in\Bbb{N}$.

Problema 3. *** Fie $p$ prim $\ge5$,de forma $3k+2$ si multimea $s=\{y^2-x^3-1/0\le x,y \le p-1\}$.Sa se arate ca cel mult $p-1$ elemente din $s$ sunt divizibile cu $p$.

Problema 4. *** Sa se gaseasca cel mai mic $y\in\Bbb{N}$ nenul, astfel incat $\exists a,b\in\Bbb{N}$ nenule care satisfac proprietatea : $15a+16b=x^2$ si $16a-15b=y^2$.

Problema 5. * Aflati $k\in\Bbb{N}$ astfel incat $\dfrac{3n^2+1}{k^4-k^2-1}\in\Bbb{Z}$.

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Calota Dragos
Mesaje: 94
Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
Localitate: Craiova

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gi

Mesaj de Calota Dragos »

2.Presupunem prin reducere la absurd ca exista m,n $\in$$\Bbb{N}$ astfel incat 167|$2^n$+$3^m$$\implies$ $2^n$$\equiv$ -$3^m$(167).Avem:$\dbinom{2}{167}^n$=$1^n$=1.Procedand analog pentru $-3^m$ obtinem 1=-1(Contradictie)
Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
Bogdan Stanoiu
Mesaje: 106
Membru din: Mie Iul 27, 2011 4:59 am

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gi

Mesaj de Bogdan Stanoiu »

Mr. Ady scrie:Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Demonstrati ca $160!+1\neq x^2$.

Problema 2. ** Aratati ca numarul $2^n+3^m$ nu este niciodata divizibil cu $167$, $\forall$ $n,m\in\Bbb{N}$.

Problema 3. *** Fie $p$ prim $\ge5$,de forma $3k+2$ si multimea $s=\{y^2-x^3-1/0\le x,y \le p-1\}$.Sa se arate ca cel mult $p-1$ elemente din $s$ sunt divizibile cu $p$.

Problema 4. *** Sa se gaseasca cel mai mic $y\in\Bbb{N}$ nenul, astfel incat $\exists a,b\in\Bbb{N}$ nenule care satisfac proprietatea : $15a+16b=x^2$ si $16a-15b=y^2$.

Problema 5. * Aflati $k\in\Bbb{N}$ astfel incat $\dfrac{3n^2+1}{k^4-k^2-1}\in\Bbb{Z}$.

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective
1) Se arata, folosind Teorema lui Wilson ca restul impartirii lui 160!+1 la 163 nu este rest ptratic.
3) Deoarece 3 este prim cu p-1 rezulta ca daca a^3=b^3(mod p) atunci a=b modulo p
Deci pentru un y fixat exista un unic x astfel incat y^2-x^3-1 se divide cu p
.....
Scrie răspuns