MathTime

de **Mr. Ady** » Lun Sep 05, 2011 8:11 pm

Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Demonstrati ca $160!+1\neq x^2$ .

Problema 2. ** Aratati ca numarul 2^n+3^m

nu este niciodata divizibil cu 167

, $\forall$ $n,m\in\Bbb{N}$ .

Problema 3. *** Fie

prim $\ge5$ ,de forma 3k+2

si multimea $s=\{y^2-x^3-1/0\le x,y \le p-1\}$ .Sa se arate ca cel mult p-1

elemente din

sunt divizibile cu

.

Problema 4. *** Sa se gaseasca cel mai mic $y\in\Bbb{N}$ nenul, astfel incat $\exists a,b\in\Bbb{N}$ nenule care satisfac proprietatea : 15a+16b=x^2

si

.

Problema 5. * Aflati $k\in\Bbb{N}$ astfel incat $\dfrac{3n^2+1}{k^4-k^2-1}\in\Bbb{Z}$ .

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective

de **Calota Dragos** » Mie Sep 07, 2011 10:18 pm

2.Presupunem prin reducere la absurd ca exista m,n $\in$ $\Bbb{N}$ astfel incat 167| 2^n

+

$\implies$ 2^n

$\equiv$ - 3^m

(167).Avem: $\dbinom{2}{167}^n$ = 1^n

=1.Procedand analog pentru -3^m

obtinem 1=-1(Contradictie)

de **Bogdan Stanoiu** » Joi Sep 08, 2011 5:38 am

Mr. Ady scrie:Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Demonstrati ca $160!+1\neq x^2$ .

Problema 2. ** Aratati ca numarul nu este niciodata divizibil cu , $\forall$ $n,m\in\Bbb{N}$ .

Problema 3. *** Fie prim $\ge5$ ,de forma si multimea $s=\{y^2-x^3-1/0\le x,y \le p-1\}$ .Sa se arate ca cel mult elemente din sunt divizibile cu .

Problema 4. *** Sa se gaseasca cel mai mic $y\in\Bbb{N}$ nenul, astfel incat $\exists a,b\in\Bbb{N}$ nenule care satisfac proprietatea : si .

Problema 5. * Aflati $k\in\Bbb{N}$ astfel incat $\dfrac{3n^2+1}{k^4-k^2-1}\in\Bbb{Z}$ .

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective

1) Se arata, folosind Teorema lui Wilson ca restul impartirii lui 160!+1 la 163 nu este rest ptratic.
3) Deoarece 3 este prim cu p-1 rezulta ca daca a^3=b^3(mod p) atunci a=b modulo p
Deci pentru un y fixat exista un unic x astfel incat y^2-x^3-1 se divide cu p
.....

MathTime

Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gica

Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gica

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gi

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua V -Simbol Legendre- Al. Gi

Cine este conectat