MathTime

de **Mr. Ady** » Lun Sep 05, 2011 7:49 pm

Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Gasiti un divizor prim al numarului 21894300001

.

Problema 2. * Se poate scrie numarul 5229

ca suma de

patrate perfecte?

Problema 3. * Aflati ultimele

cifre ale numarului $1232^{1199}$ .

Problema 4. * Sa se gaseasca $x\in\{0,1,2,3...,100\}$ ,astfel incat $37x\equiv1(mod101)$ .

Problema 5. * Gasiti

din multimea $\{0,1,2....,120\}$ ,astfel incat 11^2 | n^2-5

.

Problema 6. *** Fie a_n=2^n+3^n+6^n-1

unde $n\in\Bbb{N}$ nenul.Gasiti multimea $M=\{m\in\Bbb{N}/(m,a_n)=1, \forall n\in\Bbb{N}\}$ .

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective

de **Calota Dragos** » Lun Sep 05, 2011 9:25 pm

1. Pur și simplu observăm că evident nr. nu e divizibil cu 2,3,5

, iar dacă îl împărțim la

restul e

.

de **Calota Dragos** » Lun Sep 05, 2011 9:29 pm

2.Numarul 5229 se divide cu 7, asadar a si b sunt divizibile cu 7.De aici suma patratelor se divide cu 49 , dar 5229 nu se divide cu 49 (CONTRADICTIE).

de **Calota Dragos** » Lun Sep 05, 2011 9:34 pm

3.Aplicam T.Euler pentru $\varphi (100)$ si obtinem ultimele 2 cifre 68.

de **mihai miculita** » Vin Dec 23, 2011 5:47 pm

Problema 5:
$n^2-5\vdots 121\Rightarrow (n^2-5)\vdots 11\Rightarrow$ $n\equiv 4(mod\, 11) \mbox{ sau } n\equiv 7 (mod\, 11)\Rightarrow n=11h+4\mbox{ sau }n=11h+7.$
Cazul 1.
$n=11h+4\Rightarrow n^2-5=(11h+4)^2-5=$ $121h^2+11(8h+1)\vdots 121\Leftrightarrow (8h+1)\vdots 11\Rightarrow h=11k+4$ $\Rightarrow n=121k+48;$
Cazul 2. $n=11h+7\Rightarrow n^2-5=(11h+7)^2-5=$ $121h^2+22(7h+2)\vdots 121\Leftrightarrow$ $(7h+2)\vdots 11\Leftrightarrow h=11k+6\Leftrightarrow n=121k+73;$
$\Rightarrow \mbox{numerele cautate sunt: } n\in\{48;73\}.$

MathTime

Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al. Gica

Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al. Gica

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al.

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al.

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al.

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al.

Cine este conectat