Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al. Gica

Avatar utilizator
Mr. Ady
Mesaje: 307
Membru din: Mie Dec 08, 2010 10:55 pm
Localitate: Targoviste

Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al. Gica

Mesaj de Mr. Ady »

Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. ** Gasiti un divizor prim al numarului $21894300001$.

Problema 2. * Se poate scrie numarul $5229$ ca suma de $2$ patrate perfecte?

Problema 3. * Aflati ultimele $2$ cifre ale numarului $1232^{1199}$.

Problema 4. * Sa se gaseasca $x\in\{0,1,2,3...,100\}$,astfel incat $37x\equiv1(mod101)$.

Problema 5. * Gasiti $n$ din multimea $\{0,1,2....,120\}$,astfel incat $11^2 | n^2-5$.

Problema 6. *** Fie $a_n=2^n+3^n+6^n-1$ unde $n\in\Bbb{N}$ nenul.Gasiti multimea $M=\{m\in\Bbb{N}/(m,a_n)=1, \forall n\in\Bbb{N}\}$.

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Calota Dragos
Mesaje: 94
Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
Localitate: Craiova

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al.

Mesaj de Calota Dragos »

1. Pur și simplu observăm că evident nr. nu e divizibil cu $2,3,5$, iar dacă îl împărțim la $7$ restul e $0$.
Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
Calota Dragos
Mesaje: 94
Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
Localitate: Craiova

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al.

Mesaj de Calota Dragos »

2.Numarul 5229 se divide cu 7, asadar a si b sunt divizibile cu 7.De aici suma patratelor se divide cu 49 , dar 5229 nu se divide cu 49 (CONTRADICTIE).
Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
Calota Dragos
Mesaje: 94
Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
Localitate: Craiova

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al.

Mesaj de Calota Dragos »

3.Aplicam T.Euler pentru $\varphi (100)$ si obtinem ultimele 2 cifre 68.
Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua IV - Div. si congr. - Al.

Mesaj de mihai miculita »

Problema 5:
$n^2-5\vdots 121\Rightarrow (n^2-5)\vdots 11\Rightarrow$$n\equiv 4(mod\, 11) \mbox{ sau } n\equiv 7 (mod\, 11)\Rightarrow n=11h+4\mbox{ sau }n=11h+7.$
Cazul 1.
$n=11h+4\Rightarrow n^2-5=(11h+4)^2-5=$$121h^2+11(8h+1)\vdots 121\Leftrightarrow (8h+1)\vdots 11\Rightarrow h=11k+4$$\Rightarrow n=121k+48;$
Cazul 2.
$n=11h+7\Rightarrow n^2-5=(11h+7)^2-5=$$121h^2+22(7h+2)\vdots 121\Leftrightarrow$$(7h+2)\vdots 11\Leftrightarrow h=11k+6\Leftrightarrow n=121k+73;$
$\Rightarrow \mbox{numerele cautate sunt: } n\in\{48;73\}.$
Scrie răspuns