Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al. Gica

Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al. Gica

Mesajde Mr. Ady » Lun Sep 05, 2011 7:27 pm

Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. *** Fie A= \{a_1,a_2,a_3,a_4|a_1\le a_2\le a_3\le a_4\} si s(A)=a_1+a_2+a_3+a_4. Definim k numarul maxim de perechi (i,j) cu 1\le i\le j\le4 pentru care a_i+a_j|s(A). Sa se gaseasca k maxim si multimea A.

Problema 2. * Sa se demonstreze ca fractia \frac{21n+4}{14n+3} este ireductibila.

Problema 3. ** Sa se gaseasca a\in\Bbb{N} nenul,pentru care \exists n\in\Bbb{N} nenul, astfel incat \frac{a^{n+1}+n^{n+1}+1}{a^n+2^n+1}\in\Bbb{N}.

Problema 4. * Pentru ce numere n\in\Bbb{N} nenule, avem [\sqrt{n}] divide pe n.

Problema 5. * Sa se gaseasca n\in\Bbb{N} nenul, astfel incat 2^n | 3^n-1.

Problema 6. *** Fie un sir cu A_1=1, A_2=10 si A_{n+2}=\overline{A_{n+1}A_n}. Aflati n pentru care 11 | A_n.

Problema 7. ** Sa se gaseasca numerele a,b\in\Bbb{N} nenule,astfel incat a^2+b^2=q(a+b)+r si q^2+r=1977 cu q,r\in\Bbb{N}.

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Solutiile COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Avatar utilizator
Mr. Ady
 
Mesaje: 307
Membru din: Mie Dec 08, 2010 10:55 pm
Localitate: Targoviste

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Mesajde mihai miculita » Vin Dec 23, 2011 2:50 pm

Problema 2:
Solutia 1:
\left\begin{array}{c}
d|21n+4\\
d|14n+3\end{array}\right\}\Rightarrow d|(21n+4)-(14n+3)=7n+1;
\left\begin{array}{c}
d|7n+1\\
d|14n+3\end{array}\right\}\Rightarrow d|(14n+3)-(7n+1)=1\Rightarrow d=\pm 1 \Rightarrow\boxed{ \dfrac{21n+4}{14+3}\mbox{-este ireductibila.}}

Solutia a 2-a: Folosind proprietatea: (a;b)=(b;a)=(b-ka;a);\,(\forall)a,b,k\in\mathbb{Z}, avem:

(21n+4;14n+3)=(7n+1;14n+3)=(7n+1;1)=1\Rightarrow d|(14n+3)-(7n+1)=1\Rightarrow\boxed{ \dfrac{21n+4}{14+3}\mbox{-este ireductibila.}}
mihai miculita
 
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Mesajde mihai miculita » Vin Dec 23, 2011 4:09 pm

Solutia problemei 4:
1). [\sqrt{n}]=k\in\mathbb{N}\Leftrightarrow k\le \sqrt{n}<k+1\Leftrightarrowk^2\le n<(k+1)^2=k^2+2k+1\Leftrightarrow n\in[k^2;k^2+2k].
2).
Cum k=[\sqrt{n}]|n\in[k^2;k^2+2k]\Rightarrow n\in\{k^2;k^2+k;k^2+2k\}.
Asa ca:
n\in\{k^2|k\in\mathbb{N}\}\cup\{k^2+k|k\in\mathbb{N}\}\cup\{k^2+2k|k\in\mathbb{N}\}=
=\{0;1;2;3;4;6;8;9;12;15;16;20;24;25;30;35;\,\dots;k^2;k^2+k;k^2+2k;\dots\}.
mihai miculita
 
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Mesajde Dan_Leonte » Mie Feb 20, 2013 7:59 pm

Problema 4:
Hint:puterile lui 2
Don't wish it were easier, wish you were better
Dan_Leonte
 
Mesaje: 201
Membru din: Dum Dec 18, 2011 6:19 pm
Localitate: Botosani

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Mesajde Michi Panaitescu » Sâm Mai 04, 2013 6:43 pm

Observație: Problema 2 a fost dată la OIM 1959. :)
Per aspera ad astra.
Michi Panaitescu
 
Mesaje: 204
Membru din: Lun Apr 23, 2012 5:53 pm
Localitate: Bucuresti

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Mesajde Vintu Vladimir » Lun Mai 06, 2013 5:40 pm

Michi Panaitescu scrie:Observație: Problema 2 a fost dată la OIM 1959. :)

Da, a fost prima problema de la primul OIM!
Avatar utilizator
Vintu Vladimir
 
Mesaje: 145
Membru din: Mie Iun 15, 2011 8:36 pm
Localitate: Constanta


Înapoi la Tabara MathTime

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron