Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica
Seniori
Problema 1. *** Fie $A= \{a_1,a_2,a_3,a_4|a_1\le a_2\le a_3\le a_4\}$ si $s(A)=a_1+a_2+a_3+a_4$. Definim $k$ numarul maxim de perechi $(i,j)$ cu $1\le i\le j\le4$ pentru care $a_i+a_j|s(A)$. Sa se gaseasca $k$ maxim si multimea $A$.
Problema 2. * Sa se demonstreze ca fractia $\frac{21n+4}{14n+3}$ este ireductibila.
Problema 3. ** Sa se gaseasca $a\in\Bbb{N}$ nenul,pentru care $\exists n\in\Bbb{N}$ nenul, astfel incat $\frac{a^{n+1}+n^{n+1}+1}{a^n+2^n+1}\in\Bbb{N}$.
Problema 4. * Pentru ce numere $n\in\Bbb{N}$ nenule, avem $[\sqrt{n}]$ divide pe $n$.
Problema 5. * Sa se gaseasca $n\in\Bbb{N}$ nenul, astfel incat $2^n | 3^n-1$.
Problema 6. *** Fie un sir cu $A_1=1$, $A_2=10$ si $A_{n+2}=\overline{A_{n+1}A_n}$. Aflati $n$ pentru care $11 | A_n$.
Problema 7. ** Sa se gaseasca numerele $a,b\in\Bbb{N}$ nenule,astfel incat $a^2+b^2=q(a+b)+r$ si $q^2+r=1977$ cu $q,r\in\Bbb{N}$.
Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Solutiile COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective
Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al. Gica
Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al. Gica
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
-
- Mesaje: 1493
- Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
- Localitate: ORADEA
Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.
Problema 2:
Solutia 1:
$\left\begin{array}{c} d|21n+4\\ d|14n+3\end{array}\right\}\Rightarrow d|(21n+4)-(14n+3)=7n+1;$
$\left\begin{array}{c} d|7n+1\\ d|14n+3\end{array}\right\}$$\Rightarrow d|(14n+3)-(7n+1)=1$$\Rightarrow d=\pm 1 \Rightarrow\boxed{ \dfrac{21n+4}{14+3}\mbox{-este ireductibila.}}$
Solutia a 2-a: Folosind proprietatea: $(a;b)=(b;a)=(b-ka;a);\,(\forall)a,b,k\in\mathbb{Z}$, avem:
$(21n+4;14n+3)=(7n+1;14n+3)=(7n+1;1)=1$$\Rightarrow d|(14n+3)-(7n+1)=1$$\Rightarrow\boxed{ \dfrac{21n+4}{14+3}\mbox{-este ireductibila.}}$
Solutia 1:
$\left\begin{array}{c} d|21n+4\\ d|14n+3\end{array}\right\}\Rightarrow d|(21n+4)-(14n+3)=7n+1;$
$\left\begin{array}{c} d|7n+1\\ d|14n+3\end{array}\right\}$$\Rightarrow d|(14n+3)-(7n+1)=1$$\Rightarrow d=\pm 1 \Rightarrow\boxed{ \dfrac{21n+4}{14+3}\mbox{-este ireductibila.}}$
Solutia a 2-a: Folosind proprietatea: $(a;b)=(b;a)=(b-ka;a);\,(\forall)a,b,k\in\mathbb{Z}$, avem:
$(21n+4;14n+3)=(7n+1;14n+3)=(7n+1;1)=1$$\Rightarrow d|(14n+3)-(7n+1)=1$$\Rightarrow\boxed{ \dfrac{21n+4}{14+3}\mbox{-este ireductibila.}}$
-
- Mesaje: 1493
- Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
- Localitate: ORADEA
Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.
Solutia problemei 4:
1). $[\sqrt{n}]=k\in\mathbb{N}\Leftrightarrow k\le \sqrt{n}<k+1\Leftrightarrow$$k^2\le n<(k+1)^2=k^2+2k+1\Leftrightarrow n\in[k^2;k^2+2k].$
2). Cum $k=[\sqrt{n}]|n\in[k^2;k^2+2k]\Rightarrow n\in\{k^2;k^2+k;k^2+2k\}.$
Asa ca: $n\in\{k^2|k\in\mathbb{N}\}\cup\{k^2+k|k\in\mathbb{N}\}\cup\{k^2+2k|k\in\mathbb{N}\}=$
$=\{0;1;2;3;4;6;8;9;12;15;16;20;24;25;30;35;$$\,\dots;k^2;k^2+k;k^2+2k;\dots\}.$
1). $[\sqrt{n}]=k\in\mathbb{N}\Leftrightarrow k\le \sqrt{n}<k+1\Leftrightarrow$$k^2\le n<(k+1)^2=k^2+2k+1\Leftrightarrow n\in[k^2;k^2+2k].$
2). Cum $k=[\sqrt{n}]|n\in[k^2;k^2+2k]\Rightarrow n\in\{k^2;k^2+k;k^2+2k\}.$
Asa ca: $n\in\{k^2|k\in\mathbb{N}\}\cup\{k^2+k|k\in\mathbb{N}\}\cup\{k^2+2k|k\in\mathbb{N}\}=$
$=\{0;1;2;3;4;6;8;9;12;15;16;20;24;25;30;35;$$\,\dots;k^2;k^2+k;k^2+2k;\dots\}.$
-
- Mesaje: 201
- Membru din: Dum Dec 18, 2011 6:19 pm
- Localitate: Botosani
Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.
Problema 4:
Hint:puterile lui 2
Hint:puterile lui 2
Don't wish it were easier, wish you were better
-
- Mesaje: 204
- Membru din: Lun Apr 23, 2012 5:53 pm
- Localitate: Bucuresti
Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.
Observație: Problema 2 a fost dată la OIM 1959.
Per aspera ad astra.
- Vintu Vladimir
- Mesaje: 145
- Membru din: Mie Iun 15, 2011 8:36 pm
- Localitate: Constanta
Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.
Da, a fost prima problema de la primul OIM!Michi Panaitescu scrie:Observație: Problema 2 a fost dată la OIM 1959.