MathTime

de **Mr. Ady** » Lun Sep 05, 2011 7:27 pm

Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica

Seniori

Problema 1. *** Fie $A= \{a_1,a_2,a_3,a_4|a_1\le a_2\le a_3\le a_4\}$ si s(A)=a_1+a_2+a_3+a_4

. Definim

numarul maxim de perechi (i,j)

cu $1\le i\le j\le4$ pentru care a_i+a_j|s(A)

. Sa se gaseasca

maxim si multimea

.

Problema 2. * Sa se demonstreze ca fractia $\frac{21n+4}{14n+3}$ este ireductibila.

Problema 3. ** Sa se gaseasca $a\in\Bbb{N}$ nenul,pentru care $\exists n\in\Bbb{N}$ nenul, astfel incat $\frac{a^{n+1}+n^{n+1}+1}{a^n+2^n+1}\in\Bbb{N}$ .

Problema 4. * Pentru ce numere $n\in\Bbb{N}$ nenule, avem $[\sqrt{n}]$ divide pe

.

Problema 5. * Sa se gaseasca $n\in\Bbb{N}$ nenul, astfel incat 2^n | 3^n-1

.

Problema 6. *** Fie un sir cu A_1=1

,

si $A_{n+2}=\overline{A_{n+1}A_n}$ . Aflati

pentru care 11 | A_n

.

Problema 7. ** Sa se gaseasca numerele $a,b\in\Bbb{N}$ nenule,astfel incat a^2+b^2=q(a+b)+r

si

cu $q,r\in\Bbb{N}$ .

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Solutiile COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective

de **mihai miculita** » Vin Dec 23, 2011 2:50 pm

Problema 2:
Solutia 1:
$\left\begin{array}{c} d|21n+4\\ d|14n+3\end{array}\right\}\Rightarrow d|(21n+4)-(14n+3)=7n+1;$
$\left\begin{array}{c} d|7n+1\\ d|14n+3\end{array}\right\}$ $\Rightarrow d|(14n+3)-(7n+1)=1$ $\Rightarrow d=\pm 1 \Rightarrow\boxed{ \dfrac{21n+4}{14+3}\mbox{-este ireductibila.}}$

Solutia a 2-a: Folosind proprietatea: $(a;b)=(b;a)=(b-ka;a);\,(\forall)a,b,k\in\mathbb{Z}$ , avem:
(21n+4;14n+3)=(7n+1;14n+3)=(7n+1;1)=1

$\Rightarrow d|(14n+3)-(7n+1)=1$ $\Rightarrow\boxed{ \dfrac{21n+4}{14+3}\mbox{-este ireductibila.}}$

de **mihai miculita** » Vin Dec 23, 2011 4:09 pm

Solutia problemei 4:
1). $[\sqrt{n}]=k\in\mathbb{N}\Leftrightarrow k\le \sqrt{n}<k+1\Leftrightarrow$ $k^2\le n<(k+1)^2=k^2+2k+1\Leftrightarrow n\in[k^2;k^2+2k].$
2). Cum $k=[\sqrt{n}]|n\in[k^2;k^2+2k]\Rightarrow n\in\{k^2;k^2+k;k^2+2k\}.$
Asa ca: $n\in\{k^2|k\in\mathbb{N}\}\cup\{k^2+k|k\in\mathbb{N}\}\cup\{k^2+2k|k\in\mathbb{N}\}=$
$=\{0;1;2;3;4;6;8;9;12;15;16;20;24;25;30;35;$ $\,\dots;k^2;k^2+k;k^2+2k;\dots\}.$

de **Dan_Leonte** » Mie Feb 20, 2013 7:59 pm

Problema 4:
Hint:puterile lui 2

de **Michi Panaitescu** » Sâm Mai 04, 2013 6:43 pm

Observație: Problema 2 a fost dată la OIM 1959.

de **Vintu Vladimir** » Lun Mai 06, 2013 5:40 pm

Michi Panaitescu scrie:Observație: Problema 2 a fost dată la OIM 1959.

Da, a fost prima problema de la primul OIM!

MathTime

Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al. Gica

Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al. Gica

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Re: Tabara MathTime-Seniori, Ziua II - Divizibilitate - Al.

Cine este conectat