Tabăra MathTime - Ziua I, Ecuații diofantice - F. Georgescu
Scris: Lun Sep 05, 2011 10:20 am
Curs susținut de domn profesor Flavian Georgescu - JUNIORI
Problema 1 Fie $x,y,p,q\in \Bbb{N^*}$ cu $p,q$ prime a.î. $\frac{p}{x}+\frac{q}{y}=1$. Determinați $x$ și $y$ în funcție de $p$ și $q$.
Problema 2 Rezolvați în $\Bbb{Z}$ ecuația $(xy-7)^2=x^2+y^2$.
Problema 3 Determinați $x,y\in \Bbb{Z}$ a.î. $x^2(y-1)-y^2(x+1)=1$.
Problema 4 Determinați $a,b,c\in \Bbb{N}$ cu $1<a<b<c$ a.î. $(a-1)(b-1)(c-1)\mid (abc-1)$.
Problema 5 Determinați $x,y,z\in \Bbb{Z}$ a.î. $x+y+z=3$ și $x^3+y^3+z^3=3$.
Problema 6 Găsiți toate soluțiile ecuației $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ în $\Bbb{Z}$.
Problema 7 Arătați că ecuația $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ are o infinitate de soluții în $\Bbb{Z}$.
Problema 8 Demonstrați că ecuația $x^n+y^n=z^{n-1}$ are o infinitate de soluții în $\Bbb{N}$.
Problema 9 Demonstrați că ecuația $x^4+y^4+z^4=2002^t$ are o infinitate de soluții în $\Bbb{N}$.
Problema 1 Fie $x,y,p,q\in \Bbb{N^*}$ cu $p,q$ prime a.î. $\frac{p}{x}+\frac{q}{y}=1$. Determinați $x$ și $y$ în funcție de $p$ și $q$.
Problema 2 Rezolvați în $\Bbb{Z}$ ecuația $(xy-7)^2=x^2+y^2$.
Problema 3 Determinați $x,y\in \Bbb{Z}$ a.î. $x^2(y-1)-y^2(x+1)=1$.
Problema 4 Determinați $a,b,c\in \Bbb{N}$ cu $1<a<b<c$ a.î. $(a-1)(b-1)(c-1)\mid (abc-1)$.
Problema 5 Determinați $x,y,z\in \Bbb{Z}$ a.î. $x+y+z=3$ și $x^3+y^3+z^3=3$.
Problema 6 Găsiți toate soluțiile ecuației $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ în $\Bbb{Z}$.
Problema 7 Arătați că ecuația $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ are o infinitate de soluții în $\Bbb{Z}$.
Problema 8 Demonstrați că ecuația $x^n+y^n=z^{n-1}$ are o infinitate de soluții în $\Bbb{N}$.
Problema 9 Demonstrați că ecuația $x^4+y^4+z^4=2002^t$ are o infinitate de soluții în $\Bbb{N}$.