Pagina 1 din 1

Tabara MathTime- Ziua I, Nr. prime si nr. compuse - Al. Gica

Scris: Dum Sep 04, 2011 8:20 pm
de Mr. Ady
Curs sustinut de domn profesor Alexandru Gica - SENIORI

Problema 1. *** Sa se gaseasca toate numerele perfecte $n$ astfel incat $n-1$ si $n+1$ sunt numere prime.

Problema 2. *** Aflati numerele $p,q,r$ prime care satisfac ecuatia: $\frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1$.

Problema 3. *** Sa se demonstreze ca pentru orice $p$ prim, numarul $A=7p+3^p-4$ nu poate fi patrat perfect.

Problema 4. * Sa se demonstreze ca numarul $1 \underbrace{00\ldots\00}_{\text{de}\ 1961\ \text{ori}}1$ este compus.

Problema 5. * Aratati ca numarul $104060401$ este compus.

Problema 6. ** Aratati ca numarul $1280000401$ este numar compus.

Problema 7. ** Aflati $p,q$ prime astfel incat $2^q=1999+p^2$.

Problema 8. *** Demonstrati ca fractia $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ este numar compus.

Problema 9. ** Determinati $n$ natural,pentru care $2n+1=a^2$, $3n+1=b^2$ si $5n+3$ este prim.

Problema 10. ** Sa se afle $n$ pentru care $n^n+1$ este prim si $n^n+1\le10^{19}$.

Problema 11. ** Sa se demonstreze ca numarul $\underbrace{11\ldots\11}_{\text{de}\ k\ \text{ori}}61$ nu este patrat perfect.

Problema 12. *** Descompuneti numarul $5^{1985}-1$ in $3$ factori mai mari ca $5^{100}$.

Problema 13. ** Sa se afle numerele $n\ge2$ pentru care toate numerele formate cu $n-1$ cifre de $1$ si o cifra de $7$ sunt prime.

Nota: Numarul de * reprezinta gradul de dificultate al problemei
* - usor, ** - mediu, *** - greu, **** - foarte greu
Eventualele solutii COMPLETE vor fi trimise la linkurile problemelor respective

Re: Tabara MathTime- Ziua I, Nr. prime si nr. compuse - Al.

Scris: Lun Sep 05, 2011 10:54 pm
de Calota Dragos
9.Inmultim prima relatie cu 3 si a doua cu 2, iar prin scadere obtinem 3 $a^2$- 2 $b^2$ = 1. Dar 5n+3 =2n+1 +3n+1=$a^2$+$b^2$ + 1 care este un numar prim.Inlocuim pe 1 si obtinem 4 $a^2$ - $b^2$=p,unde p prim.Se face diferenta de patrate si se analizeaza cele 2 cazuri. :)

Re: Tabara MathTime- Ziua I, Nr. prime si nr. compuse - Al.

Scris: Mar Sep 06, 2011 6:10 am
de Bogdan Stanoiu
Am dat o rezolvare pentru problema 7 (la link-ul aferent). Interesant este ce se ontampla daca renuntam la conditia ca p si q sa fie prime, punand doar conditia sa fie naturale