Set de inegalitati VIII-IX

Set de inegalitati VIII-IX

Mesajde Mr. Ady » Sâm Sep 03, 2011 10:44 pm

1. Fie 0<a,b,c \le 1 a.i. ab+bc+ca+1=a+b+c+2abc. Sa se arate ca \frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\ge 2(a+b+c).
In ce caz avem egalitate?

2. Fie a, b, c \ge 0 astfel incat abc=1. Sa se arate ca:
\left(\frac{a}{1+a} \right)^{2}+\left(\frac{b}{1+b} \right)^{2}+\left(\frac{c}{1+c} \right)^{2} \ge \dfrac{1}{2} \left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \right)

3. Fie a, b, c \ge 0 astfel incat abc=1. Sa se arate ca:
\frac{1}{2a+\sqrt{3}}+ \frac{1}{2b+\sqrt{3}}+ \frac{1}{2c+\sqrt{3}} \le \frac{a+b+c}{2+\sqrt{3}}

4. Fie a, b, c >0. Sa se arate ca:
\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \ge 4

5. Fie a, b, c >0. Sa se arate ca
\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} +3 \ge \frac{a+c}{b} + \frac{b+a}{c}+ \frac{c+b}{a}

6. Fie a, b, c \ge 0. Sa se araste ca
\frac{bc}{2a^{2}+bc}+\frac{ca}{2b^{2}+ca}+\frac{ab}{2c^{2}+ab} \ge 1

7. Fie a, b, c \ge 0 astfel incat a+b+c=1. Sa se determine valoarea minima a expresiei E(a, b, c)=a \sqrt[3]{a} + b \sqrt[3]{b} +c \sqrt[3]{c}.

8. Fie a, b, c>0. Sa se arate ca:
\frac{b+c}{a^{2}} + \frac{c+a}{b^{2}} + \frac{a+b}{c^{2}} \ge 2 \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)

9. Fie a, b, c \ge 0. Sa se arate ca
\sqrt[5]{\dfrac{a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}+e^{5}}{5}} \ge \sqrt[3]{\dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}}{5}}

10. Fie a, b, c \ge 0 astfel incat \left(a+\frac{3}{2} \right) \left(b+\frac{2}{3} \right) \left( c+ \frac{1}{4} \right) = \frac{125}{24}. Sa se arate ca a^{2}b^{3}c^{4} \le 1
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Avatar utilizator
Mr. Ady
 
Mesaje: 307
Membru din: Mie Dec 08, 2010 10:55 pm
Localitate: Targoviste

Înapoi la Tabara MathTime

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron