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de **Mr. Ady** » Sâm Sep 03, 2011 10:44 pm

1. Fie $0<a,b,c \le 1$ a.i. ab+bc+ca+1

. Sa se arate ca $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\ge 2(a+b+c)$ .
In ce caz avem egalitate?

2. Fie $a, b, c \ge 0$ astfel incat abc=1

. Sa se arate ca:
$\left(\frac{a}{1+a} \right)^{2}+\left(\frac{b}{1+b} \right)^{2}+\left(\frac{c}{1+c} \right)^{2} \ge \dfrac{1}{2} \left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \right)$

3. Fie $a, b, c \ge 0$ astfel incat abc=1

. Sa se arate ca:
$\frac{1}{2a+\sqrt{3}}+$ $\frac{1}{2b+\sqrt{3}}+ \frac{1}{2c+\sqrt{3}}$ $\le$ $\frac{a+b+c}{2+\sqrt{3}}$

4. Fie a, b, c >0

. Sa se arate ca:
$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ $\ge$

5. Fie

. Sa se arate ca
$\frac{a^{2}}{b^{2}}$

$\frac{b^{2}}{c^{2}}$

$\frac{c^{2}}{a^{2}} +3$ $\ge \frac{a+c}{b}$

$\frac{b+a}{c}+$ $\frac{c+b}{a}$

6. Fie $a, b, c \ge 0$ . Sa se araste ca
$\frac{bc}{2a^{2}+bc}+\frac{ca}{2b^{2}+ca}+\frac{ab}{2c^{2}+ab} \ge 1$

7. Fie $a, b, c \ge 0$ astfel incat a+b+c=1

. Sa se determine valoarea minima a expresiei $E(a, b, c)=a \sqrt[3]{a} + b \sqrt[3]{b} +c \sqrt[3]{c}$ .

8. Fie a, b, c>0

. Sa se arate ca:
$\frac{b+c}{a^{2}} + \frac{c+a}{b^{2}} + \frac{a+b}{c^{2}} \ge 2 \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$

9. Fie $a, b, c \ge 0$ . Sa se arate ca
$\sqrt[5]{\dfrac{a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}+e^{5}}{5}}$ $\ge$ $\sqrt[3]{\dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}}{5}}$

10. Fie $a, b, c \ge 0$ astfel incat $\left(a+\frac{3}{2} \right) \left(b+\frac{2}{3} \right) \left( c+ \frac{1}{4} \right) = \frac{125}{24}$ . Sa se arate ca $a^{2}b^{3}c^{4} \le 1$

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Set de inegalitati VIII-IX

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