Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgescu

Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgescu

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Lun Sep 05, 2011 10:15 pm

Curs susținut de domn profesor Flavian Georgescu.

Problema 1 Rezolvați în numere prime ecuația: p^3-q^5=(p+q)^2.

Problema 2 Rezolvați în \Bbb{Z} ecuația: x^2-2^y=2021.

Problema 3 Rezolvați în \Bbb{N} ecuația: 3^x-5^y=z^2.

Problema 4 Rezolvați în \Bbb{Z} ecuația: x^2+5=3^n.

Problema 5 Rezolvați în \Bbb{N} ecuația: 3^x+4^y=5^z.

Problema 6 Rezolvați în \Bbb{N} ecuația: x^3+7=y^2.

Problema 7 Rezolvați în numere impare ecuația: x^n+2^{n-1}=y^2.

Eventualele soluții se vor pune la link-urile corespunzătoare.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Mesajde Bogdan Stanoiu » Mar Sep 06, 2011 6:26 am

2) Pentru y<0 x nu are cum sa fie intreg
Daca y>2 rezulta ca 2^y se divide cu 8 si ar rezulta ca x^2 trebuie sa dea restul 5 la impartirea cu 8 ceea c e nu se poate.
Deci y poate lua valorile 0;1;2
Se verifica pentru fiecare caz daca exista solutii si ce solutii exista
Bogdan Stanoiu
 
Mesaje: 106
Membru din: Mie Iul 27, 2011 4:59 am

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Mesajde Bogdan Stanoiu » Mar Sep 06, 2011 6:40 am

4)Daca n<0 rezulta ca x nu este intreg.
Deci n este natural
Din considerente legate de modulo 4 , n trebuie sa fie par.
Deci n=2m
Avem ca 3^(2m)-x^2=5 adica
(3^m-x)(3^m+x)=5.......
Bogdan Stanoiu
 
Mesaje: 106
Membru din: Mie Iul 27, 2011 4:59 am

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Mesajde bilalkaan » Mie Sep 07, 2011 6:27 pm

La subpunctul 6 adunam 1 si rezulta x^3+8=y^2+1 care e echivalenta cu (x+2)(x^2-2x+4)=y^2+1 si x e impar.Numarul (x-1)^2+3 e de forma 4m^2+3 care are un divizor prim de forma p=4k+3.Ne rezulta p/1.
bilalkaan
 
Mesaje: 146
Membru din: Vin Noi 05, 2010 10:25 pm

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Mesajde bilalkaan » Mie Sep 07, 2011 6:37 pm

La subpunctul 1 luam ecuatia modulo 3 si presupunem ca numerele sunt \ge5 de unde ne iese contradictia si avem solutia p=7,q=3.La subpunctul 3 ne iese z=2a,dupa care luam ecuatia mod4 si ne iese si x=2b .(3^b-2a)(3^b+2a)=5^y si 3^b-2a=5^n si 3^b+2a=5^m si n+m=y.Ne va rezulta ca unica solutie e x=2,y=1,z=2.
bilalkaan
 
Mesaje: 146
Membru din: Vin Noi 05, 2010 10:25 pm

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Mesajde anamariaradu » Joi Feb 07, 2013 9:26 pm

5) Cum 4^y=M_3+1 si 3^x=M_3 deducem ca 5^z=M_3+1 \implies z=par. Fie z=2a. Avem:
3^x= (5^a-2^y)(5^a+2^y)
Consideram 3^n=(5^a-2^y)si 3^m=(5^a+2^y), cu n<m. Prin adunare:
2\cdot 5^a=3^n(3{m-n}+1). \implies n=0. Inlocuind avem:
5^a-2^y=1 .(de unde a>1)
Ultima cifra a lui 5^a este 5 si deci ultima cifra a lui 2^y este 4 \implies y=par. Fie y=2c. Avem:
5^a-4^c=1 .
Pt. c=1 avem a=2 de unde y=2 ,z=2 si x=2 .
Pt. c\ge 2 cum 4^c=M_3+1 \implies 5^a=M_3 +2 de unde a=impar . Fie a=2b+1.
5\cdot 25^b-4^c=1. \implies M_8+5-M_8=1 \implies implosibil!

Singura solutie este x=y=z=2.
anamariaradu
 
Mesaje: 251
Membru din: Lun Aug 06, 2012 3:35 pm

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Mesajde stoianmihail » Joi Iul 03, 2014 6:16 pm

La subpunctul 5 avem si solutia separata x=0,y=1 si z=1 din 3^0 + 4^1 = 5^1. :D


"Ca iata adevarul ai iubit cele nearatate si cele ascunse ale intelepciunii Tale mi-ai aratat" - Psalmul 50
"Hristos ne iubeste pe toti,dragii mei" - Parintele Porfirie
stoianmihail
 
Mesaje: 26
Membru din: Mar Iun 17, 2014 10:10 pm

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Mesajde ghenghea1 » Sâm Dec 27, 2014 12:41 pm

Problema 7: Ecuatia se mai scrie ca x^n+2^n=y^2+2^n-1...si totul se cam termina aici,deoarece membrul stang este de forma 4m+3,care nu poate divide membrul drept
Liceul Teoretic Cobani
ghenghea1
 
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm


Înapoi la Tabara MathTime

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron